题目
五、(10分) 在变力 =(2x(y)^3-(y)^2cos x)i+(1-2ysin x+3(x)^2(y)^2)i 的作用下,一-|||-质点沿曲线 :2x=pi (y)^2 从点O(0,0)移动到点 (dfrac (pi )(2),1), 求力F所作的功W.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定力F的分量
力F的分量为 $P=2x{y}^{3}-{y}^{2}\cos x$ 和 $Q=1-2y\sin x+3{x}^{2}{y}^{2}$。
步骤 2：验证曲线积分与路径无关
计算 $\dfrac {\partial P}{\partial y}$ 和 $\dfrac {\partial Q}{\partial x}$，得到 $\dfrac {\partial P}{\partial y}=6x{y}^{2}-2y\cos x$ 和 $\dfrac {\partial Q}{\partial x}=6x{y}^{2}-2y\cos x$，两者相等，因此曲线积分与路径无关。
步骤 3：选择路径并计算功
选择路径 $(0,0)\rightarrow (\dfrac {\pi }{2},0)\rightarrow (\dfrac {\pi }{2},1)$，计算功 $W=\int {(2x{y}^{2}-{y}^{2}\cos x)dx+(1-2y)\sin x+3{x}^{2}{y}^{2})dy$。
步骤 4：计算积分
计算积分得到 $W=0+{\int }_{0}^{1}[ 1-2y\cdot \sin \dfrac {\pi }{2}+3(\dfrac {{x}^{2}}{4}{y}^{2})] dy=[ y-{y}^{2}+\dfrac {{\pi }^{2}}{4}{y}^{2}] $ $=\dfrac {{\pi }^{2}}{4}$。
力F的分量为 $P=2x{y}^{3}-{y}^{2}\cos x$ 和 $Q=1-2y\sin x+3{x}^{2}{y}^{2}$。
步骤 2：验证曲线积分与路径无关
计算 $\dfrac {\partial P}{\partial y}$ 和 $\dfrac {\partial Q}{\partial x}$，得到 $\dfrac {\partial P}{\partial y}=6x{y}^{2}-2y\cos x$ 和 $\dfrac {\partial Q}{\partial x}=6x{y}^{2}-2y\cos x$，两者相等，因此曲线积分与路径无关。
步骤 3：选择路径并计算功
选择路径 $(0,0)\rightarrow (\dfrac {\pi }{2},0)\rightarrow (\dfrac {\pi }{2},1)$，计算功 $W=\int {(2x{y}^{2}-{y}^{2}\cos x)dx+(1-2y)\sin x+3{x}^{2}{y}^{2})dy$。
步骤 4：计算积分
计算积分得到 $W=0+{\int }_{0}^{1}[ 1-2y\cdot \sin \dfrac {\pi }{2}+3(\dfrac {{x}^{2}}{4}{y}^{2})] dy=[ y-{y}^{2}+\dfrac {{\pi }^{2}}{4}{y}^{2}] $ $=\dfrac {{\pi }^{2}}{4}$。