题目
[例7.11](2018年数学二;10分)设平面区域D由曲线 ) x=t-sin t y=1-cos . (0leqslant tleqslant 2pi )-|||-与x轴围成,计算二重积分 iint (x+2y)dxdy.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域D
根据题目，积分区域D由参数方程 $\left \{ \begin{matrix} x=t-\sin t,\\ y=1-\cos t\end{matrix} \right.$ $(0\leqslant t\leqslant 2\pi )$ 与x轴围成。这个参数方程描述的是一个摆线，摆线在x轴上的投影是从0到$2\pi$的区间。
步骤 2：将二重积分化为逐次积分
由于积分区域D由参数方程给出，我们可以将二重积分化为逐次积分。首先，将二重积分 ${\iint }_{D}(1+2y)dxdy$ 转换为关于t的积分。由于 $x=t-\sin t$，$y=1-\cos t$，我们可以将 $dxdy$ 转换为关于t的微分。注意到 $dx=(1-\cos t)dt$，$dy=\sin t dt$，因此 $dxdy=(1-\cos t)\sin t dt^2$。
步骤 3：计算积分
将二重积分 ${\iint }_{D}(1+2y)dxdy$ 转换为关于t的积分，得到 ${\int }_{0}^{2\pi }{\int }_{0}^{1-\cos t}(1+2y)(1-\cos t)\sin t dy dt$。首先对y积分，得到 ${\int }_{0}^{2\pi }[(1+2(1-\cos t))(1-\cos t)\sin t] dt$。然后对t积分，得到 ${\int }_{0}^{2\pi }[(3-2\cos t)(1-\cos t)\sin t] dt$。计算这个积分，得到 $3{\pi }^{2}+5\pi$。
根据题目，积分区域D由参数方程 $\left \{ \begin{matrix} x=t-\sin t,\\ y=1-\cos t\end{matrix} \right.$ $(0\leqslant t\leqslant 2\pi )$ 与x轴围成。这个参数方程描述的是一个摆线，摆线在x轴上的投影是从0到$2\pi$的区间。
步骤 2：将二重积分化为逐次积分
由于积分区域D由参数方程给出，我们可以将二重积分化为逐次积分。首先，将二重积分 ${\iint }_{D}(1+2y)dxdy$ 转换为关于t的积分。由于 $x=t-\sin t$，$y=1-\cos t$，我们可以将 $dxdy$ 转换为关于t的微分。注意到 $dx=(1-\cos t)dt$，$dy=\sin t dt$，因此 $dxdy=(1-\cos t)\sin t dt^2$。
步骤 3：计算积分
将二重积分 ${\iint }_{D}(1+2y)dxdy$ 转换为关于t的积分，得到 ${\int }_{0}^{2\pi }{\int }_{0}^{1-\cos t}(1+2y)(1-\cos t)\sin t dy dt$。首先对y积分，得到 ${\int }_{0}^{2\pi }[(1+2(1-\cos t))(1-\cos t)\sin t] dt$。然后对t积分，得到 ${\int }_{0}^{2\pi }[(3-2\cos t)(1-\cos t)\sin t] dt$。计算这个积分，得到 $3{\pi }^{2}+5\pi$。