题目
11) lim _(narrow infty )(1+dfrac (1)(2)+dfrac (1)(4)+... +dfrac (1)({2)^n}) ;(1
题目解答
答案
本题考察了极限的求问题：先化简，再求极限。
$$\lim_{n \rightarrow ∞} (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+···+\frac{1}{2^n})$$=$$\lim_{n \rightarrow ∞} \frac{1-(\frac{1}{2}) ^{n+1}}{1-\frac{1}{2} }$$=2
$$\lim_{n \rightarrow ∞} (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+···+\frac{1}{2^n})$$=$$\lim_{n \rightarrow ∞} \frac{1-(\frac{1}{2}) ^{n+1}}{1-\frac{1}{2} }$$=2
解析
步骤 1：识别数列类型
数列 $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\cdots +\dfrac{1}{{2}^{n}}$ 是一个等比数列，其中首项 $a_1=1$，公比 $q=\dfrac{1}{2}$。
步骤 2：求等比数列的前n项和
等比数列的前n项和公式为 $S_n=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。将 $a_1=1$ 和 $q=\dfrac{1}{2}$ 代入公式，得到 $S_n=\dfrac{1(1-(\dfrac{1}{2})^n)}{1-\dfrac{1}{2}}$。
步骤 3：求极限
求 $\lim_{n \rightarrow \infty} S_n$，即求 $\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{1(1-(\dfrac{1}{2})^n)}{1-\dfrac{1}{2}}$。由于 $(\dfrac{1}{2})^n$ 当 $n \rightarrow \infty$ 时趋于0，所以 $\lim_{n \rightarrow \infty} (1-(\dfrac{1}{2})^n) = 1$。因此，$\lim_{n \rightarrow \infty} S_n = \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2}} = 2$。
数列 $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\cdots +\dfrac{1}{{2}^{n}}$ 是一个等比数列，其中首项 $a_1=1$，公比 $q=\dfrac{1}{2}$。
步骤 2：求等比数列的前n项和
等比数列的前n项和公式为 $S_n=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。将 $a_1=1$ 和 $q=\dfrac{1}{2}$ 代入公式，得到 $S_n=\dfrac{1(1-(\dfrac{1}{2})^n)}{1-\dfrac{1}{2}}$。
步骤 3：求极限
求 $\lim_{n \rightarrow \infty} S_n$，即求 $\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{1(1-(\dfrac{1}{2})^n)}{1-\dfrac{1}{2}}$。由于 $(\dfrac{1}{2})^n$ 当 $n \rightarrow \infty$ 时趋于0，所以 $\lim_{n \rightarrow \infty} (1-(\dfrac{1}{2})^n) = 1$。因此，$\lim_{n \rightarrow \infty} S_n = \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2}} = 2$。