10.判断题（2分）n阶实对称矩阵，一定与一个n阶对角阵相似。（）√ ×

考查要点：本题主要考查实对称矩阵的相似对角化性质，即实对称矩阵是否一定可以与对角矩阵相似。

解题核心思路：
实对称矩阵的核心性质是正交相似对角化，即存在正交矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP = P^TAP$ 为对角矩阵。因此，实对称矩阵必然可以相似于对角矩阵。

破题关键点：

1. 实对称矩阵的特征值均为实数，保证了特征向量的存在性。
2. 不同特征值对应的特征向量正交，可通过施密特正交化得到正交矩阵。
3. 正交矩阵的逆矩阵等于其转置，简化了相似变换的计算。

实对称矩阵的正交相似对角化定理：
任意 $n$ 阶实对称矩阵 $A$，存在正交矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵。

关键推导步骤：

1. 存在正交矩阵对角化：
   实对称矩阵的特征值均为实数，且不同特征值对应的特征向量正交。通过正交化和单位化，可构造正交矩阵 $P$。
2. 相似关系成立：
   由 $P^{-1}AP = D$（$D$ 为对角矩阵），可知 $A$ 与 $D$ 相似。

结论：
根据定理，所有实对称矩阵均可以相似于对角矩阵，因此本题答案为 √。