lim _(xarrow 0)[ dfrac (1)(2x)-dfrac (1)(x({e)^x+1)}] ;

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及分式化简、等价无穷小替换以及泰勒展开的应用。

解题核心思路：

1. 通分合并：将两个分式合并为一个分式，简化表达式。
2. 等价无穷小替换：利用$x \to 0$时$e^x -1 \sim x$的性质，快速计算极限。
3. 泰勒展开或洛必达法则（备选方法）：若直接替换不明显，可展开更高阶项或应用洛必达法则。

破题关键点：

• 识别未定式形式：原式为$\infty - \infty$型未定式，需通过通分转化为$\frac{0}{0}$型。
• 化简后的分子分母关系：化简后分子为$e^x -1$，分母为$4x$，直接应用等价无穷小替换即可。

步骤1：通分合并分式
原式可变形为：
$\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow 0}\left[ \dfrac {1}{2x}-\dfrac {1}{x({e}^{x}+1)}\right] &= \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{e^x +1} \right) \\&= \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{e^x -1}{2(e^x +1)}.\end{aligned}$

步骤2：应用等价无穷小替换
当$x \to 0$时，$e^x -1 \sim x$，且$e^x +1 \to 2$，因此：
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x -1}{2x(e^x +1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{2x \cdot 2} = \frac{1}{4}.$