【题目】求过点 M_1(1,-1,2) ， M_2(-1,0,3) 且平行于z轴的平面方程

考查要点：本题主要考查空间平面方程的求解，特别是平面平行于某一坐标轴的条件，以及如何利用已知点确定平面方程。

解题核心思路：

1. 平面平行于z轴意味着平面方程中不含z项，即方程形式为$Ax + By + D = 0$。
2. 代入已知点：将点$M_1(1,-1,2)$和$M_2(-1,0,3)$代入方程，建立方程组求解系数$A$、$B$、$D$。
3. 参数化简：通过方程组消元，确定系数之间的比例关系，最终得到平面方程。

破题关键点：

• 识别平面平行于z轴的特征，排除z项。
• 正确建立方程组并求解系数，注意参数比例关系的处理。

步骤1：设定平面方程形式

因为平面平行于z轴，方程中不含z项，设平面方程为：
$Ax + By + D = 0$

步骤2：代入已知点建立方程组

将点$M_1(1,-1,2)$代入方程：
$A(1) + B(-1) + D = 0 \quad \Rightarrow \quad A - B + D = 0 \quad \text{(1)}$

将点$M_2(-1,0,3)$代入方程：
$A(-1) + B(0) + D = 0 \quad \Rightarrow \quad -A + D = 0 \quad \text{(2)}$

步骤3：解方程组求系数

从方程(2)得：
$D = A$

将$D = A$代入方程(1)：
$A - B + A = 0 \quad \Rightarrow \quad 2A - B = 0 \quad \Rightarrow \quad B = 2A$

步骤4：确定平面方程

取$A = 1$（系数可任意非零常数倍），则$D = 1$，$B = 2$，代入方程得：
$1 \cdot x + 2 \cdot y + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x + 2y + 1 = 0$