题目
单选题（共40题，100.0分） 14. (2.5分) lim_(x to infty) x sin (1)/(x) =() A. 1 B. 0 C. 不存在 D. ∞
单选题（共40题，100.0分） 14. (2.5分) $\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x} =()$
A. 1
B. 0
C. 不存在
D. ∞
A. 1
B. 0
C. 不存在
D. ∞
题目解答
答案
设 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x \to \infty$ 时，$t \to 0$。原极限变为：
\[
\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}
\]
由重要极限 $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$，得：
\[
\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x} = 1
\]
或者利用近似 $\sin \theta \approx \theta$（当 $\theta$ 很小时），有：
\[
x \sin \frac{1}{x} \approx x \cdot \frac{1}{x} = 1
\]
答案：$\boxed{A}$。
解析
考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是利用变量替换和重要极限公式求解涉及无穷大与三角函数的乘积形式。
解题核心思路：
当$x \to \infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，此时$\sin \frac{1}{x}$可以近似为$\frac{1}{x}$（小角近似）。将原式转化为$\frac{\sin t}{t}$的形式（其中$t = \frac{1}{x}$），直接应用重要极限$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$即可求解。
破题关键点：
- 变量替换：令$t = \frac{1}{x}$，将原极限转化为关于$t \to 0$的表达式。
- 重要极限公式：识别出$\frac{\sin t}{t}$的极限形式，直接得出结果。
步骤1：变量替换
令$t = \frac{1}{x}$，则当$x \to \infty$时，$t \to 0$。此时原式可变形为：
$x \sin \frac{1}{x} = \frac{\sin t}{t}$
步骤2：应用重要极限公式
根据重要极限$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$，可得：
$\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$
步骤3（备选方法）：小角近似
当$\theta$很小时，$\sin \theta \approx \theta$，因此：
$x \sin \frac{1}{x} \approx x \cdot \frac{1}{x} = 1$