【题文】两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．（1）求任意取出的零件是合格品的概率；（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．.

考查要点：本题主要考查全概率公式和贝叶斯定理的应用，涉及条件概率的理解与计算。

解题核心思路：

1. 第一问：计算任意零件是合格品的概率，需结合两台车床的合格率及其加工数量的比例，使用全概率公式。
2. 第二问：已知零件是废品，求其来自第二台车床的概率，需用贝叶斯定理，结合废品的总概率进行计算。

破题关键点：

• 数量比例：第一台加工的零件数是第二台的两倍，即比例为2:1。
• 合格率与废品率：第一台合格率为$1-0.03=0.97$，第二台为$1-0.02=0.98$。
• 废品的总概率：需先通过全概率公式计算，再用于贝叶斯定理。

第（1）题

确定数量比例

设第二台加工的零件数为$n$，则第一台加工的零件数为$2n$，总零件数为$3n$。因此：

• 第一台零件占比：$\frac{2}{3}$
• 第二台零件占比：$\frac{1}{3}$

计算合格品概率

合格品概率为两台车床合格率的加权平均：
$P(\text{合格}) = \frac{2}{3} \times 0.97 + \frac{1}{3} \times 0.98 = 0.973$

第（2）题

计算废品的总概率

废品概率为：
$P(\text{废品}) = 1 - P(\text{合格}) = 1 - 0.973 = 0.027$

计算第二台废品的概率

第二台废品的概率为：
$P(\text{第二台且废品}) = \frac{1}{3} \times 0.02 = \frac{0.02}{3}$

应用贝叶斯定理

所求概率为：
$P(\text{第二台} \mid \text{废品}) = \frac{P(\text{第二台且废品})}{P(\text{废品})} = \frac{\frac{0.02}{3}}{0.027} \approx 0.25$