例11.18 求幂级数 sum _(n=1)^infty dfrac ({x)^n}(n) 的和函数.

考查要点：本题主要考查幂级数的收敛域求解及和函数的求解方法，涉及逐项求导与积分的应用。

解题核心思路：

1. 确定收敛域：利用比值法求收敛半径，再分别判断端点$x=1$和$x=-1$处的收敛性。
2. 求和函数：通过逐项求导将原幂级数转化为几何级数，求导后求和，再通过积分还原原函数，并结合初始条件确定常数。

破题关键点：

• 逐项求导：将幂级数转化为几何级数，简化求和过程。
• 积分还原：对导数后的表达式积分，并利用$S(0)=0$确定积分常数。

1. 确定收敛域

收敛半径：
由比值法，
$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1.$
收敛区间：$(-1, 1)$。

端点分析：

• 当$x=1$时，级数为调和级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$，发散。
• 当$x=-1$时，级数为交错级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$，由莱布尼茨判别法收敛。

结论：收敛域为$[-1, 1)$。

2. 求和函数

设和函数$S(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}$，逐项求导得：
$S'(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n x^{n-1}}{n} = \sum_{n=1}^\infty x^{n-1} = \sum_{k=0}^\infty x^k = \frac{1}{1-x} \quad (|x| < 1).$
对$S'(x)$积分：
$\int_0^x S'(t) \, dt = S(x) - S(0) = \int_0^x \frac{1}{1-t} \, dt = -\ln(1-x).$
因$S(0) = 0$，故$S(x) = -\ln(1-x)$，在$[-1, 1)$上成立。