int dfrac (dx)(sqrt {x)+sqrt [4](x)};

考查要点：本题主要考查有理函数的积分，需要通过变量替换将根式积分转化为有理分式积分，再利用多项式除法或分式分解进行求解。

解题核心思路：

1. 变量替换：令 $u = \sqrt[4]{x}$，将原积分中的根式转化为多项式形式，简化积分表达式。
2. 分式分解：将变形后的分式通过多项式除法拆分为简单分式之和，便于逐项积分。
3. 回代变量：将积分结果中的中间变量 $u$ 替换回原变量 $x$，得到最终答案。

破题关键点：

• 选择合适的替换变量：通过 $u = \sqrt[4]{x}$ 统一根式的次数，使分母变为多项式形式。
• 正确处理分式拆分：将 $\frac{4u^3}{u^2 + u}$ 化简为多项式与简单分式的组合，避免复杂的分式分解。

变量替换：
令 $u = \sqrt[4]{x}$，则 $x = u^4$，$dx = 4u^3 du$。此时，$\sqrt{x} = u^2$，$\sqrt[4]{x} = u$，原积分变为：
$\int \frac{4u^3}{u^2 + u} du.$

分式化简：
将分母因式分解为 $u(u + 1)$，分式化简为：
$\frac{4u^3}{u(u + 1)} = \frac{4u^2}{u + 1}.$

多项式除法：
将 $\frac{4u^2}{u + 1}$ 分解为多项式与简单分式之和：
$\frac{4u^2}{u + 1} = 4u - 4 + \frac{4}{u + 1}.$

逐项积分：
对分解后的表达式逐项积分：
$\int (4u - 4 + \frac{4}{u + 1}) du = 2u^2 - 4u + 4\ln|u + 1| + C.$

回代变量：
将 $u = \sqrt[4]{x}$ 代入，得到最终结果：
$2\sqrt{x} - 4\sqrt[4]{x} + 4\ln(1 + \sqrt[4]{x}) + C.$