4 单选 (10分) 设A是三阶矩阵，且|A|=(1)/(2)，则(2A)^-1+A^*|=A. (1)/(2)B. 2C. 5D. (125)/(4)

本题考查矩阵的逆、伴随矩阵以及行列式的性质。解题思路是先根据矩阵的性质化简$\vert(2A)^{-1}+A^{*}\vert$，再结合已知条件$\vert A\vert=\frac{1}{2}$进行计算。

1. 根据矩阵性质化简$(2A)^{-1}$和$A^{*}$：
   • 根据逆矩阵的性质$(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$（$k$为非零常数），可得$(2A)^{-1}=\frac{1}{2}A^{-1}$。
   • 根据伴随矩阵的性质$A^{*}=\vert A\vert A^{-1}$，已知$\vert A\vert=\frac{1}{2}$，则$A^{*}=\frac{1}{2}A^{-1}$。
2. 将化简后的$(2A)^{-1}$和$A^{*}$代入原式：
   $\vert(2A)^{-1}+A^{*}\vert=\vert\frac{1}{2}A^{-1}+\frac{1}{2}A^{-1}\vert=\vert A^{-1}\vert$
3. 根据逆矩阵的行列式性质计算$\vert A^{-1}\vert$：
   根据逆矩阵的行列式性质$\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{\vert A\vert}$，已知$\vert A\vert=\frac{1}{2}$，则$\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$。