题目
6带电一9的粒子在带电+q的点电荷的静电力作用下,在水平面内绕点电荷作半径R的匀速率圆周运动。如果带电粒子及点电荷的电量增大一倍,并使粒子的运动速率也增大一倍,那么粒子的运动半径变为() A. 4RB. 2RC. RD. R/2
6带电一9的粒子在带电+q的点电荷的静电力作用下,在水平面内绕点电荷作半径R的匀速率圆周运动。如果带电粒子及点电荷的电量增大一倍,并使粒子的运动速率也增大一倍,那么粒子的运动半径变为()
- A. 4R
- B. 2R
- C. R
- D. R/2
题目解答
答案
C
解析
步骤 1：确定库仑力提供向心力
带电粒子在带电点电荷的静电力作用下做匀速率圆周运动，库仑力提供向心力。根据库仑定律和向心力公式，有：
\[ F = \frac{k q_1 q_2}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \]
其中，\( k \) 是库仑常数，\( q_1 \) 和 \( q_2 \) 分别是带电粒子和点电荷的电量，\( m \) 是带电粒子的质量，\( v \) 是带电粒子的运动速率，\( r \) 是运动半径。
步骤 2：分析电量和速率变化对半径的影响
如果带电粒子及点电荷的电量都增大一倍，即 \( q_1' = 2q_1 \) 和 \( q_2' = 2q_2 \)，并且粒子的运动速率也增大一倍，即 \( v' = 2v \)，则新的库仑力和向心力关系为：
\[ F' = \frac{k q_1' q_2'}{r'^2} = \frac{m (v')^2}{r'} \]
代入新的电量和速率，得到：
\[ F' = \frac{k (2q_1) (2q_2)}{r'^2} = \frac{m (2v)^2}{r'} \]
化简得到：
\[ F' = \frac{4k q_1 q_2}{r'^2} = \frac{4mv^2}{r'} \]
步骤 3：比较新旧半径
将 \( F' \) 与原库仑力 \( F \) 进行比较，得到：
\[ \frac{4k q_1 q_2}{r'^2} = \frac{4mv^2}{r'} \]
由于原库仑力 \( F = \frac{k q_1 q_2}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \)，可以得到：
\[ \frac{4k q_1 q_2}{r'^2} = \frac{4mv^2}{r'} = \frac{4k q_1 q_2}{r^2} \]
化简得到：
\[ \frac{1}{r'^2} = \frac{1}{r^2} \]
因此，\( r' = r \)。
带电粒子在带电点电荷的静电力作用下做匀速率圆周运动，库仑力提供向心力。根据库仑定律和向心力公式，有：
\[ F = \frac{k q_1 q_2}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \]
其中，\( k \) 是库仑常数，\( q_1 \) 和 \( q_2 \) 分别是带电粒子和点电荷的电量，\( m \) 是带电粒子的质量，\( v \) 是带电粒子的运动速率，\( r \) 是运动半径。
步骤 2：分析电量和速率变化对半径的影响
如果带电粒子及点电荷的电量都增大一倍，即 \( q_1' = 2q_1 \) 和 \( q_2' = 2q_2 \)，并且粒子的运动速率也增大一倍，即 \( v' = 2v \)，则新的库仑力和向心力关系为：
\[ F' = \frac{k q_1' q_2'}{r'^2} = \frac{m (v')^2}{r'} \]
代入新的电量和速率，得到：
\[ F' = \frac{k (2q_1) (2q_2)}{r'^2} = \frac{m (2v)^2}{r'} \]
化简得到：
\[ F' = \frac{4k q_1 q_2}{r'^2} = \frac{4mv^2}{r'} \]
步骤 3：比较新旧半径
将 \( F' \) 与原库仑力 \( F \) 进行比较，得到：
\[ \frac{4k q_1 q_2}{r'^2} = \frac{4mv^2}{r'} \]
由于原库仑力 \( F = \frac{k q_1 q_2}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \)，可以得到：
\[ \frac{4k q_1 q_2}{r'^2} = \frac{4mv^2}{r'} = \frac{4k q_1 q_2}{r^2} \]
化简得到：
\[ \frac{1}{r'^2} = \frac{1}{r^2} \]
因此，\( r' = r \)。