(32) int dfrac ({x)^3}(9+{x)^2}dx=

本题考查不定积分的计算，主要使用凑微分法（第一类换元积分法）。

步骤1：拆分被积函数

被积函数为 $\frac{x^3}{9+x^2}$，观察到分子 $x^3$ 可拆分为 $x \cdot x^2$，即：
$\int \frac{x^3}{9+x^2}dx = \int \frac{x^2 \cdot x}{9+x^2}dx$

步骤2：凑微分

注意到分母 $9+x^2$ 的导数为 $2x$，则 $x dx = \frac{1}{2}d(9+x^2)$。
同时，分子中的 $x^2$ 可表示为 $(9+x^2) - 9$（因为 $x^2 = (9+x^2) - 9$），代入得：
$\int \frac{[(9+x^2) - 9] \cdot x}{9+x^2}dx = \int \left(1 - \frac{9}{9+x^2}\right) x dx$

步骤3：积分计算

将积分拆分为两项，并利用凑微分：
$\int \left(1 - \frac{9}{9+x^2}\right) x dx = \frac{1}{2} \int \left(1 - \frac{9}{9+x^2}\right) d(9+x^2)$
对每一项积分：
$\frac{1}{2} \left[ \int 1 \cdot d(9+x^2) - 9 \int \frac{1}{9+x^2} d(9+x^2) \right]$
根据积分公式 $\int \frac{1}{u}du = \ln|u| + C$ 和 $\int du = u + C$，得：
$\frac{1}{2} \left[ (9+x^2) - 9\ln(9+x^2) \right] + C$

步骤4：化简结果

展开并整理：
$\frac{1}{2}(9+x^2) - \frac{9}{2}\ln(9+x^2) + C = \frac{1}{2}x^2 - \frac{9}{2}\ln(9+x^2) + \frac{9}{2} + C$
常数 $\frac{9}{2}$ 可归入 $C$，最终结果为：
$\frac{1}{2}x^2 - \frac{9}{2}\ln(9+x^2) + C$