设二维离散型随机变量 ( X , Y ) 的联合分布列为0并设X与Y相互独立，试求（1）0的值；（2）（X，Y）关于Y的边际分布列；（3）DY；（4）Z=3XY的分布列。

步骤 1：求解a和β的值
根据概率和等于1，我们有：
$$
\frac{1}{3} + a + \beta + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{18} = 1
$$
化简得：
$$
a + \beta = \frac{1}{3}
$$
由于X与Y相互独立，我们有：
$$
P(X=0,Y=0) = P(X=0)P(Y=0)
$$
$$
\frac{1}{3} = \left(\frac{1}{3} + a\right)\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right)
$$
解得：
$$
a = \frac{2}{9}, \beta = \frac{1}{9}
$$
步骤 2：求解（X，Y）关于Y的边际分布列
根据联合分布列，我们有：
$$
P(Y=0) = P(X=0,Y=0) + P(X=1,Y=0) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}
$$
$$
P(Y=1) = P(X=0,Y=1) + P(X=1,Y=1) = \frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3}
$$
$$
P(Y=2) = P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=2) = \frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{1}{6}
$$
步骤 3：求解DY
根据方差计算公式，我们有：
$$
E(Y) = 0 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{3} + 2 \times \frac{1}{6} = \frac{2}{3}
$$
$$
E(Y^2) = 0^2 \times \frac{1}{2} + 1^2 \times \frac{1}{3} + 2^2 \times \frac{1}{6} = \frac{5}{6}
$$
$$
D(Y) = E(Y^2) - E(Y)^2 = \frac{5}{6} - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{5}{6} - \frac{4}{9} = \frac{5}{18}
$$
步骤 4：求解Z=3XY的分布列
根据联合分布列，我们有：
$$
P(Z=0) = P(X=0,Y=0) + P(X=0,Y=1) + P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=0) = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}
$$
$$
P(Z=3) = P(X=1,Y=1) = \frac{1}{9}
$$
$$
P(Z=6) = P(X=1,Y=2) = \frac{1}{18}
$$