1.求下列极限:-|||-(3) lim _(xarrow +infty )(({3)^x+(9)^x)}^dfrac (1{x)};

考查要点：本题主要考查指数函数的极限以及重要极限公式的应用。关键在于将复杂的表达式进行变形，提取主导项并转化为已知的极限形式。

解题思路：

1. 观察指数结构：注意到$9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$，因此$3^x + 9^x$中$9^x$是主导项。
2. 提取公因子：将$3^{2x}$作为公因子提取，将原式转化为$9 \cdot \left(1 + 3^{-x}\right)^{1/x}$。
3. 分析剩余部分：当$x \to +\infty$时，$3^{-x} \to 0$，需判断$\left(1 + 3^{-x}\right)^{1/x}$的极限是否为1。
4. 应用极限公式：通过变形或取对数，结合重要极限$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{a}{n})^n = e^a$，最终确定极限值。

步骤1：提取主导项

将$3^x + 9^x$改写为$3^{2x} + 3^x$，提取公因子$3^{2x}$：
$3^x + 9^x = 3^{2x} \left(1 + 3^{-x}\right)$

步骤2：化简原式

原式变为：
$\left(3^{2x} \left(1 + 3^{-x}\right)\right)^{1/x} = \left(3^{2x}\right)^{1/x} \cdot \left(1 + 3^{-x}\right)^{1/x} = 9 \cdot \left(1 + 3^{-x}\right)^{1/x}$

步骤3：分析剩余部分的极限

考虑$\left(1 + 3^{-x}\right)^{1/x}$：

• 当$x \to +\infty$时，$3^{-x} \to 0$，因此$\left(1 + 3^{-x}\right)^{1/x} \approx 1 + \frac{3^{-x}}{x}$。
• 进一步分析$\frac{3^{-x}}{x} = \frac{1}{3^x \cdot x}$，当$x \to +\infty$时，该值趋于$0$。
• 因此，$\left(1 + 3^{-x}\right)^{1/x} \to 1$。

步骤4：综合结果

最终极限为：
$$
9 \cdot 1 = 9

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