题目
(5) int dfrac (arctan x)(1+{x)^2}dx= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：识别积分类型
观察积分 $\int \dfrac {\arctan x}{1+{x}^{2}}dx$，可以发现分母 $1+x^2$ 是 $\arctan x$ 的导数的倒数。这提示我们使用换元法，令 $u = \arctan x$。
步骤 2：换元
令 $u = \arctan x$，则 $du = \dfrac{1}{1+x^2}dx$。将 $u$ 和 $du$ 代入原积分，得到 $\int u \, du$。
步骤 3：计算积分
计算 $\int u \, du$，得到 $\dfrac{1}{2}u^2 + C$。将 $u = \arctan x$ 代回，得到 $\dfrac{1}{2}(\arctan x)^2 + C$。
观察积分 $\int \dfrac {\arctan x}{1+{x}^{2}}dx$，可以发现分母 $1+x^2$ 是 $\arctan x$ 的导数的倒数。这提示我们使用换元法，令 $u = \arctan x$。
步骤 2：换元
令 $u = \arctan x$，则 $du = \dfrac{1}{1+x^2}dx$。将 $u$ 和 $du$ 代入原积分，得到 $\int u \, du$。
步骤 3：计算积分
计算 $\int u \, du$，得到 $\dfrac{1}{2}u^2 + C$。将 $u = \arctan x$ 代回，得到 $\dfrac{1}{2}(\arctan x)^2 + C$。