一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为 ρ=Ar(r≤R) ，ρ=0(r＞R)A为一常量．试求球体内外的场强分布．

考查要点：本题主要考查高斯定理在非均匀带电球体场强计算中的应用，需要结合电荷体密度分布，分区域（内部和外部）计算电场强度。

解题核心思路：

1. 利用高斯定理，根据对称性选取同心球面作为高斯面。
2. 分区域积分电荷：对球内（$r \leq R$）和球外（$r > R$）分别计算高斯面内的总电荷量。
3. 建立方程求解场强：通过高斯定理公式 $E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$ 求解 $E$。

破题关键点：

• 正确积分电荷：球内电荷密度 $\rho = Ar$，需对 $0$ 到 $r$ 积分；球外总电荷需对 $0$ 到 $R$ 积分。
• 验证连续性：场强在 $r=R$ 处应连续，可用此验证结果是否合理。

球体内（$r \leq R$）

计算总电荷量

高斯面内总电荷 $Q_{\text{enc}}$ 为：
$Q_{\text{enc}} = \int_0^r \rho \, dV = \int_0^r Ar \cdot 4\pi r^2 \, dr = 4\pi A \int_0^r r^3 \, dr = \pi A r^4$

应用高斯定理

由高斯定理 $E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$，得：
$E = \frac{\pi A r^4}{4\pi \varepsilon_0 r^2} = \frac{A r^2}{4\varepsilon_0}$

球体外（$r > R$）

计算总电荷量

总电荷 $Q_{\text{total}}$ 为：
$Q_{\text{total}} = \int_0^R Ar \cdot 4\pi r^2 \, dr = 4\pi A \int_0^R r^3 \, dr = \pi A R^4$

应用高斯定理

由高斯定理 $E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{\text{total}}}{\varepsilon_0}$，得：
$E = \frac{\pi A R^4}{4\pi \varepsilon_0 r^2} = \frac{A R^4}{4\varepsilon_0 r^2}$