设函数 f(x) 在 x = x_0 处有二阶导数，则(A) 当 f(x) 在 x_0 的某邻域内单调增加时，f'(x_0) > 0(B) 当 f'(x_0) > 0 时，f(x) 在 x_0 的某邻域内单调增加(C) 当 f(x) 在 x_0 的某邻域内是凹函数时，f''(x_0) > 0(D) 当 f''(x_0) > 0 时，f(x) 在 x_0 的某邻域内是凹函数

我们来逐项分析这道题。题目给出：函数 $ f(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处有二阶导数，即 $ f''(x_0) $ 存在。我们要判断四个选项中哪一个正确。 --- ### **选项 (A)**：当 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 的某邻域内单调增加时，$ f'(x_0) > 0 $ **分析：** 函数在某邻域内单调增加，意味着对邻域内的任意 $ x_1 < x_2 $，都有 $ f(x_1) < f(x_2) $。 根据导数的定义，如果函数在 $ x_0 $ 处可导，且在该点邻域单调增加，那么可以推出 $ f'(x_0) \geq 0 $。 但是否一定 $ f'(x_0) > 0 $？不一定。 **反例**：考虑函数 $ f(x) = x^3 $，在 $ x = 0 $ 处。 - $ f'(x) = 3x^2 $，所以 $ f'(0) = 0 $ - $ f(x) = x^3 $ 在整个实数域上是严格单调增加的（因为 $ x_1 < x_2 \Rightarrow x_1^3 < x_2^3 $） - 但它在 $ x = 0 $ 处的导数为 0 所以，函数在 $ x_0 $ 的邻域内单调增加，但 $ f'(x_0) = 0 $，不满足 $ f'(x_0) > 0 $ **因此 (A) 错误。** --- ### **选项 (B)**：当 $ f'(x_0) > 0 $ 时，$ f(x) $ 在 $ x_0 $ 的某邻域内单调增加 **分析：** 已知 $ f'(x_0) > 0 $，能否推出在 $ x_0 $ 附近函数单调增加？ 注意：仅知道 $ f'(x_0) > 0 $，不能保证导数在邻域内保持正号，除非导数连续。 但题目只说了 $ f $ 在 $ x_0 $ 处有二阶导数，这意味着 $ f' $ 在 $ x_0 $ 的某个邻域内存在，且 $ f' $ 在 $ x_0 $ 处可导，因此 $ f' $ 在 $ x_0 $ 处**连续**。 因为可导一定连续。 所以 $ f' $ 在 $ x_0 $ 处连续，且 $ f'(x_0) > 0 $，根据函数极限的保号性，存在某个邻域 $ (x_0 - \delta, x_0 + \delta) $，使得在这个邻域内 $ f'(x) > 0 $。 而导数在某区间内大于零，则函数在该区间内严格单调增加。 **因此 (B) 正确。** --- ### **选项 (C)**：当 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 的某邻域内是凹函数时，$ f''(x_0) > 0 $ **分析：** 什么是凹函数？注意中文中“凹函数”有时有歧义，需要确认定义。 在数学分析中，通常： - **凹函数（concave down）**：图像向下凹，即二阶导数 $ \leq 0 $，也叫“上凸函数” - **凸函数（concave up）**：图像向上凹，即二阶导数 $ \geq 0 $ 但中文教材中，“凹函数”常指 **concave up**，即二阶导数非负，图像像碗一样向上开。 但这里要小心：题目说“在邻域内是凹函数”，我们假设“凹函数”是指 **严格凹** 或 **凹（concave up）**，即图像向上弯曲。 但关键是：即使 $ f(x) $ 在邻域内是凹函数（即 $ f''(x) \geq 0 $），也只能推出 $ f''(x_0) \geq 0 $，不能推出 $ f''(x_0) > 0 $ **反例**：$ f(x) = x^4 $，在 $ x = 0 $ - $ f''(x) = 12x^2 $，所以 $ f''(0) = 0 $ - 但 $ f''(x) \geq 0 $ 处处成立，所以 $ f(x) $ 是凹函数（concave up） - 所以在 $ x_0 = 0 $ 的邻域内是凹函数，但 $ f''(0) = 0 \not> 0 $ 因此 (C) 错误。 --- ### **选项 (D)**：当 $ f''(x_0) > 0 $ 时，$ f(x) $ 在 $ x_0 $ 的某邻域内是凹函数 **分析：** 这里“凹函数”我们仍然理解为 **concave up**，即二阶导数大于零。 已知 $ f''(x_0) > 0 $，且 $ f''(x_0) $ 存在。 由于 $ f''(x_0) $ 存在，说明 $ f'(x) $ 在 $ x_0 $ 的某个邻域内存在，且 $ f''(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x) - f'(x_0)}{x - x_0} $ 存在。 但 $ f''(x_0) > 0 $ 本身不能直接推出 $ f''(x) > 0 $ 在邻域内成立，除非 $ f'' $ 在 $ x_0 $ 连续。 但题目只说了 $ f $ 在 $ x_0 $ 处有二阶导数，**并没有说 $ f''(x) $ 在 $ x_0 $ 连续**。 所以 $ f''(x_0) > 0 $ 不一定推出在邻域内 $ f''(x) > 0 $。 **反例**：构造一个函数，使得 $ f''(x_0) > 0 $，但在任意接近 $ x_0 $ 的点，$ f''(x) $ 可能为负。 例如，定义： $$ f(x) = \begin{cases} x^2 + x^3 \sin\left(\frac{1}{x}\right), & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases} $$ 这个函数在 $ x = 0 $ 附近振荡，但可以验证 $ f'(0) = 0 $，$ f''(0) = 2 > 0 $，但由于 $ \sin(1/x) $ 项的扰动，$ f''(x) $ 在任意靠近 0 的地方会正负震荡，因此 $ f''(x) $ 在任意邻域内不恒大于 0。 因此，$ f(x) $ 在 $ x_0 = 0 $ 的任何邻域内都不是凹函数（因为凹函数要求 $ f''(x) \geq 0 $ 或 $ > 0 $） 所以 (D) **不一定成立**，即错误。 但注意：如果 $ f'' $ 在 $ x_0 $ 连续，那么由 $ f''(x_0) > 0 $ 可推出邻域内 $ f''(x) > 0 $，从而函数是凹的。但题目未给出 $ f'' $ 连续，仅给出 $ f''(x_0) $ 存在。 所以 (D) 错误。 --- ### **总结** - (A) 错误：单调增不能推出导数严格大于 0，反例 $ x^3 $ - (B) 正确：$ f'(x_0) > 0 $ 且 $ f' $ 在 $ x_0 $ 连续（因为 $ f''(x_0) $ 存在），所以邻域内 $ f'(x) > 0 $，函数单调增 - (C) 错误：凹函数只能推出 $ f''(x_0) \geq 0 $，反例 $ x^4 $ - (D) 错误：$ f''(x_0) > 0 $ 不能推出邻域内 $ f''(x) > 0 $，除非二阶导连续 --- ### **正确答案是：**(B) $$ \boxed{\text{(B)}} $$