6.试确定α的值,使下列函数与x^a当 arrow infty 时为同阶无穷大量:-|||-(1) sqrt ({x)^2+(x)^5} ;-|||-(2) +(x)^2(2+sin x) ;-|||-(3) (1+x)(1+(x)^2)... (1+(x)^n).

考查要点：本题要求确定α的值，使得给定函数在x→∞时与x^α为同阶无穷大量。核心思路是分析每个函数在x→∞时的主项（最高阶项），从而确定α的值。

关键概念：

• 同阶无穷大：若$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^\alpha} = C$（C为非零常数），则f(x)与x^α同阶。
• 主项分析：当x→∞时，函数中的最高次项主导增长，低次项和有界振荡项可忽略。

第（1）题

函数：$\sqrt{x^2 + x^5}$

1. 提取主项：当x→∞时，$x^5$比$x^2$增长快得多，主项为$x^5$。
2. 近似化简：$\sqrt{x^5} = x^{5/2}$。
3. 验证极限：
   $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + x^5}}{x^{5/2}} = \lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^3} + 1} = 1$
   符合同阶条件，故α=$\frac{5}{2}$。

第（2）题

函数：$x + x^2(2 + \sin x)$

1. 分析主项：
   • $x^2(2 + \sin x)$中，$2 + \sin x$在[1,3]间振荡，但$x^2$仍为最高阶项。
   • $x$项相对于$x^2$可忽略。
2. 验证极限：
   $\lim_{x \to \infty} \frac{x + x^2(2 + \sin x)}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{x} + 2 + \sin x\right)$
   虽然$\sin x$振荡，但极限上下确界为1和3（非零常数），故α=2。

第（3）题

函数：$(1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^n)$

1. 展开主项：
   • 当x→∞时，每个因子$(1+x^k) \approx x^k$。
   • 乘积近似为$x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdots x^n = x^{1+2+\cdots+n}$。
2. 求和指数：
   $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$
   故α=$\frac{1}{2}n(n+1)$。