题目
设函数f(x)可导,且 .|[f(x)+xf(xt)]dt=1设函数f(x)可导,且 .|[f(x)+xf(xt)]dt=1设函数f(x)可导,且 .|[f(x)+xf(xt)]dt=1
题目解答
答案
解：
（1）首先根据定积分的性质和被积分变量对表达式进行变形
所以
变形为
由于函数f(x)可导，那么函数f(x)可进行积分，设f(x)的原函数为F(x),那么对原表达式进行变形求解为：
=
=1
两边同时对x求导,利用常数对x求导为0进行变形得到微分方程：
（2）对于求解f(x)的表达式，求解微分方程即可以得到
对微分方程进行变形为：
等价于
继续变形为
两边分别求原函数得到
最后变形为
，由于
为一个常数等价于c
所以最后结果为
【其中C为常数】
解析
步骤 1：建立一阶微分方程
首先，根据定积分的性质和被积分变量对表达式进行变形。给定的条件是：
\[ \int_{0}^{1} [f(x) + xf(xt)] dt = 1 \]
变形为：
\[ \int_{0}^{1} f(x) dt + \int_{0}^{1} xf(xt) dt = 1 \]
由于函数f(x)可导，那么函数f(x)可进行积分，设f(x)的原函数为F(x)，那么对原表达式进行变形求解为：
\[ f(x) + [F(xt)]_{0}^{1} = 1 \]
\[ f(x) + F(x) - F(0) = 1 \]
两边同时对x求导，利用常数对x求导为0进行变形得到微分方程：
\[ f'(x) + f(x) = 0 \]
步骤 2：求解f(x)的表达式
对于求解f(x)的表达式，求解微分方程即可以得到。对微分方程进行变形为：
\[ y' + y = 0 \]
等价于：
\[ \frac{dy}{dx} = -y \]
分离变量得到：
\[ \frac{dy}{y} = -dx \]
两边分别求原函数得到：
\[ \ln|y| = -x + C \]
最后变形为：
\[ y = Ce^{-x} \]
其中C为常数。
首先，根据定积分的性质和被积分变量对表达式进行变形。给定的条件是：
\[ \int_{0}^{1} [f(x) + xf(xt)] dt = 1 \]
变形为：
\[ \int_{0}^{1} f(x) dt + \int_{0}^{1} xf(xt) dt = 1 \]
由于函数f(x)可导，那么函数f(x)可进行积分，设f(x)的原函数为F(x)，那么对原表达式进行变形求解为：
\[ f(x) + [F(xt)]_{0}^{1} = 1 \]
\[ f(x) + F(x) - F(0) = 1 \]
两边同时对x求导，利用常数对x求导为0进行变形得到微分方程：
\[ f'(x) + f(x) = 0 \]
步骤 2：求解f(x)的表达式
对于求解f(x)的表达式，求解微分方程即可以得到。对微分方程进行变形为：
\[ y' + y = 0 \]
等价于：
\[ \frac{dy}{dx} = -y \]
分离变量得到：
\[ \frac{dy}{y} = -dx \]
两边分别求原函数得到：
\[ \ln|y| = -x + C \]
最后变形为：
\[ y = Ce^{-x} \]
其中C为常数。