题目
设二阶线性非齐次方程 y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) 有三个特解 y_1 = x，y_2 = e^x，y_3 = e^2x，则其通解为()。A. x + C_1e^x + C_2e^2xB. C_1x + C_2e^x + C_3e^2xC. x + C_1(e^x - e^2x)+ C_2(x - e^x)D. C_1(e^x - e^2x)+ C_2(e^2x - x)
设二阶线性非齐次方程 $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$ 有三个特解 $y_1 = x$，$y_2 = e^x$，$y_3 = e^{2x}$，则其通解为()。
A. $x + C_1e^x + C_2e^{2x}$
B. $C_1x + C_2e^x + C_3e^{2x}$
C. $x + C_1(e^x - e^{2x})+ C_2(x - e^x)$
D. $C_1(e^x - e^{2x})+ C_2(e^{2x} - x)$
题目解答
答案
C. $x + C_1(e^x - e^{2x})+ C_2(x - e^x)$
解析
步骤 1：构造齐次方程的解
给定三个特解 $y_1 = x$，$y_2 = e^x$，$y_3 = e^{2x}$，我们可以通过这些特解构造齐次方程的解。具体来说，我们可以通过两个特解的差来构造齐次方程的解，因为如果 $y_1$ 和 $y_2$ 是非齐次方程的两个特解，那么 $y_1 - y_2$ 就是对应的齐次方程的解。
步骤 2：计算齐次方程的解
- $y_2 - y_1 = e^x - x$
- $y_3 - y_1 = e^{2x} - x$
步骤 3：构造齐次方程的通解
齐次方程的通解可以表示为两个线性独立解的线性组合，即：
\[ C_1(e^x - x) + C_2(e^{2x} - x) \]
步骤 4：构造非齐次方程的通解
非齐次方程的通解为特解加齐次方程的通解。选择 $y_1 = x$ 为特解，非齐次方程的通解为：
\[ x + C_1(e^x - x) + C_2(e^{2x} - x) \]
步骤 5：匹配选项
与选项C匹配：
\[ x + C_1(e^x - e^{2x}) + C_2(x - e^x) \]
给定三个特解 $y_1 = x$，$y_2 = e^x$，$y_3 = e^{2x}$，我们可以通过这些特解构造齐次方程的解。具体来说，我们可以通过两个特解的差来构造齐次方程的解，因为如果 $y_1$ 和 $y_2$ 是非齐次方程的两个特解，那么 $y_1 - y_2$ 就是对应的齐次方程的解。
步骤 2：计算齐次方程的解
- $y_2 - y_1 = e^x - x$
- $y_3 - y_1 = e^{2x} - x$
步骤 3：构造齐次方程的通解
齐次方程的通解可以表示为两个线性独立解的线性组合，即：
\[ C_1(e^x - x) + C_2(e^{2x} - x) \]
步骤 4：构造非齐次方程的通解
非齐次方程的通解为特解加齐次方程的通解。选择 $y_1 = x$ 为特解，非齐次方程的通解为：
\[ x + C_1(e^x - x) + C_2(e^{2x} - x) \]
步骤 5：匹配选项
与选项C匹配：
\[ x + C_1(e^x - e^{2x}) + C_2(x - e^x) \]