大炮以仰角α、初速度v0发射炮弹, 若不计空气阻力, 求弹道曲线.

考查要点：本题主要考查抛体运动的轨迹方程（弹道曲线）的推导，涉及运动学方程的建立与求解。

解题核心思路：

1. 坐标系选择：以炮口为原点，水平方向为$x$轴，竖直方向为$y$轴。
2. 运动分解：将初速度$v_0$分解为水平方向$v_0\cos\alpha$和竖直方向$v_0\sin\alpha$。
3. 微分方程建立：水平方向匀速运动，竖直方向匀加速运动（加速度为$-g$）。
4. 积分求解：通过两次积分分别得到$x(t)$和$y(t)$的表达式。

破题关键点：

• 忽略空气阻力意味着水平方向速度恒定，竖直方向仅受重力加速度影响。
• 初始条件需代入积分常数确定具体解。

建立坐标系与运动方程

1. 坐标系设定：以炮口为原点，水平方向为$x$轴，竖直向上为$y$轴。
2. 速度分解：
   • 水平初速度：$v_{0x} = v_0\cos\alpha$
   • 竖直初速度：$v_{0y} = v_0\sin\alpha$

水平方向运动分析

• 水平方向无加速度，速度恒定：
  $\frac{dx}{dt} = v_0\cos\alpha$
• 积分得：
  $x(t) = v_0\cos\alpha \cdot t$

竖直方向运动分析

• 竖直方向加速度为重力加速度$-g$：
  $\frac{d^2y}{dt^2} = -g$
• 第一次积分（速度）：
  $\frac{dy}{dt} = v_0\sin\alpha - gt$
• 第二次积分（位移）：
  $y(t) = v_0\sin\alpha \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$

弹道曲线方程

将时间$t$用$x(t)$表示：
$t = \frac{x}{v_0\cos\alpha}$
代入$y(t)$得轨迹方程：
$y = x\tan\alpha - \frac{g x^2}{2v_0^2\cos^2\alpha}$
（题目答案中直接给出参数方程形式，此处为补充说明）