(44) int dfrac ({x)^3+1}({({x)^2+1)}^2}dx,

步骤 1：分解被积函数
将被积函数 $\dfrac{{x}^{3}+1}{{({x}^{2}+1)}^{2}}$ 分解为两个部分，以便于积分。
$$\dfrac{{x}^{3}+1}{{({x}^{2}+1)}^{2}} = \dfrac{{x}^{3}+x}{{({x}^{2}+1)}^{2}} - \dfrac{x-1}{{({x}^{2}+1)}^{2}}$$
步骤 2：积分第一部分
对第一部分 $\dfrac{{x}^{3}+x}{{({x}^{2}+1)}^{2}}$ 进行积分。
$$\int \dfrac{{x}^{3}+x}{{({x}^{2}+1)}^{2}} dx = \int \dfrac{x}{{x}^{2}+1} dx$$
步骤 3：积分第二部分
对第二部分 $-\dfrac{x-1}{{({x}^{2}+1)}^{2}}$ 进行积分。
$$\int -\dfrac{x-1}{{({x}^{2}+1)}^{2}} dx = -\int \dfrac{x}{{({x}^{2}+1)}^{2}} dx + \int \dfrac{1}{{({x}^{2}+1)}^{2}} dx$$
步骤 4：计算积分
计算上述两个积分。
$$\int \dfrac{x}{{x}^{2}+1} dx = \dfrac{1}{2} \ln({x}^{2}+1)$$
$$\int \dfrac{x}{{({x}^{2}+1)}^{2}} dx = -\dfrac{1}{2({x}^{2}+1)}$$
$$\int \dfrac{1}{{({x}^{2}+1)}^{2}} dx = \dfrac{1}{2} \arctan(x) + \dfrac{x}{2({x}^{2}+1)}$$
步骤 5：合并结果
将上述结果合并，得到最终答案。