题目
从长为12cm,宽为8cm的矩形纸板的四个角上剪去相同的小正方形,折成一个无盖的盒子,要使盒子容积最大,剪去的小正方形的边长应为多少?
从长为12cm,宽为8cm的矩形纸板的四个角上剪去相同的小正方形,折成一个无盖的盒子,要使盒子容积最大,剪去的小正方形的边长应为多少?
题目解答
答案
设剪去正方形的边长为,无盖小盒的体积为
则：
化简：
因不满足条件
更不满足
当则
（过原点）
当则
或
得到
或
所以当时
且与
对称
时
递增
时
递减
故时无盖小盒体积最大为64.
剪去的小正方形的边长应为2
解析
步骤 1：定义变量
设剪去正方形的边长为 \(x\)，无盖小盒的体积为 \(V\)。
步骤 2：建立体积函数
根据题意，剪去四个角后，盒子的长为 \(12-2x\)，宽为 \(8-2x\)，高为 \(x\)。因此，体积 \(V\) 可以表示为：
\[ V(x) = x(12-2x)(8-2x) \]
步骤 3：化简体积函数
化简体积函数 \(V(x)\)：
\[ V(x) = x(12-2x)(8-2x) = x(96 - 40x + 4x^2) = 4x^3 - 40x^2 + 96x \]
步骤 4：求导数
为了找到体积的最大值，我们需要对 \(V(x)\) 求导数，并找到导数为零的点：
\[ V'(x) = 12x^2 - 80x + 96 \]
步骤 5：求导数为零的点
令 \(V'(x) = 0\)，解方程：
\[ 12x^2 - 80x + 96 = 0 \]
\[ 3x^2 - 20x + 24 = 0 \]
使用求根公式：
\[ x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 288}}{6} = \frac{20 \pm \sqrt{112}}{6} = \frac{20 \pm 4\sqrt{7}}{6} = \frac{10 \pm 2\sqrt{7}}{3} \]
步骤 6：验证导数为零的点
由于 \(x\) 必须在 \(0\) 和 \(4\) 之间（因为 \(x\) 不能超过 \(4\)，否则长或宽会变成负数），我们只考虑 \(x = \frac{10 - 2\sqrt{7}}{3}\)。
步骤 7：验证最大值
通过二阶导数或导数符号变化验证 \(x = \frac{10 - 2\sqrt{7}}{3}\) 是最大值点。
步骤 8：计算剪去的小正方形的边长
计算 \(x = \frac{10 - 2\sqrt{7}}{3}\) 的值，约等于 \(2\)。
设剪去正方形的边长为 \(x\)，无盖小盒的体积为 \(V\)。
步骤 2：建立体积函数
根据题意，剪去四个角后，盒子的长为 \(12-2x\)，宽为 \(8-2x\)，高为 \(x\)。因此，体积 \(V\) 可以表示为：
\[ V(x) = x(12-2x)(8-2x) \]
步骤 3：化简体积函数
化简体积函数 \(V(x)\)：
\[ V(x) = x(12-2x)(8-2x) = x(96 - 40x + 4x^2) = 4x^3 - 40x^2 + 96x \]
步骤 4：求导数
为了找到体积的最大值，我们需要对 \(V(x)\) 求导数，并找到导数为零的点：
\[ V'(x) = 12x^2 - 80x + 96 \]
步骤 5：求导数为零的点
令 \(V'(x) = 0\)，解方程：
\[ 12x^2 - 80x + 96 = 0 \]
\[ 3x^2 - 20x + 24 = 0 \]
使用求根公式：
\[ x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 288}}{6} = \frac{20 \pm \sqrt{112}}{6} = \frac{20 \pm 4\sqrt{7}}{6} = \frac{10 \pm 2\sqrt{7}}{3} \]
步骤 6：验证导数为零的点
由于 \(x\) 必须在 \(0\) 和 \(4\) 之间（因为 \(x\) 不能超过 \(4\)，否则长或宽会变成负数），我们只考虑 \(x = \frac{10 - 2\sqrt{7}}{3}\)。
步骤 7：验证最大值
通过二阶导数或导数符号变化验证 \(x = \frac{10 - 2\sqrt{7}}{3}\) 是最大值点。
步骤 8：计算剪去的小正方形的边长
计算 \(x = \frac{10 - 2\sqrt{7}}{3}\) 的值，约等于 \(2\)。