(单选题，2分)（）. I=int_(-1)^1x^2(1+sin^3x)dx= A. -1 B. 1 C. (1)/(3) D. (2)/(3)

考查要点：本题主要考查定积分的奇偶性性质应用，以及分项积分的计算技巧。

解题核心思路：

1. 拆分积分：将被积函数拆分为两个部分，分别处理。
2. 奇偶性判断：利用奇函数在对称区间上的积分结果为0的性质简化计算。
3. 偶函数积分：对偶函数部分直接计算，结合对称区间简化运算。

破题关键点：

• 识别奇偶性：判断$x^2 \sin^3 x$为奇函数是解题的核心步骤。
• 分项积分：将原积分拆分为$\int x^2 dx$和$\int x^2 \sin^3 x dx$，分别计算。

将原积分拆分为两部分：
$I = \int_{-1}^{1} x^2 \, dx + \int_{-1}^{1} x^2 \sin^3 x \, dx.$

第一步：分析第二项的奇偶性

• $x^2$是偶函数，$\sin^3 x$是奇函数（奇数次幂保持奇性）。
• 偶函数乘奇函数结果为奇函数，即$x^2 \sin^3 x$是奇函数。
• 奇函数在对称区间$[-1,1]$上的积分为0，因此：
  $\int_{-1}^{1} x^2 \sin^3 x \, dx = 0.$

第二步：计算偶函数部分

• $x^2$是偶函数，利用对称性简化积分：
  $\int_{-1}^{1} x^2 \, dx = 2 \int_{0}^{1} x^2 \, dx.$
• 计算定积分：
  $2 \int_{0}^{1} x^2 \, dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.$

最终结果：
$I = \frac{2}{3} + 0 = \frac{2}{3}.$