15.（10分）（计算题）设X=(a,b,c,d),拓扑T=(X,∅,{a),(a,c),(a,b,d)},A=(a,b),求A的内部A^0.

考查要点：本题主要考查拓扑空间中内部的概念及其计算方法。需要明确内点的定义，并能够根据给定的拓扑结构，找出子集的最大开子集。

解题核心思路：

1. 内部的定义：集合$A$的内部$A^0$是包含在$A$中的最大开集，即所有属于$A$的内点的集合。
2. 内点的判定：点$x$是$A$的内点，当且仅当存在拓扑$T$中的开集$U$，使得$x \in U \subseteq A$。
3. 关键步骤：列出拓扑$T$中所有开集，筛选出包含在$A$中的开集，取其并集即为$A^0$。

破题关键点：

• 识别有效开集：在拓扑$T$中，只有$\emptyset$和$\{a\}$完全包含在$A = \{a, b\}$中。
• 排除非内点：点$b$的任何开邻域（如$\{a, b, d\}$）均包含不属于$A$的元素$d$，因此$b$不是内点。

1. 列出所有开集
   拓扑$T$中的开集为：
   $X, \ \emptyset, \ \{a\}, \ \{a, c\}, \ \{a, b, d\}.$

2. 筛选包含在$A$中的开集

   • $\emptyset$：空集总是包含在任何集合中。
   • $\{a\}$：$\{a\} \subseteq \{a, b\}$。
   • $\{a, c\}$：$c \notin A$，因此不满足。
   • $\{a, b, d\}$：$d \notin A$，因此不满足。
   • $X$：包含更多元素，不满足。

   综上，包含在$A$中的开集只有$\emptyset$和$\{a\}$。

3. 确定最大开集
   所有包含在$A$中的开集的并集为$\{a\}$，因此：
   $A^0 = \{a\}.$

4. 验证内点

   • 点$a$：存在开集$\{a\} \subseteq A$，故$a$是内点。
   • 点$b$：所有包含$b$的开集（如$\{a, b, d\}$）均包含不属于$A$的元素$d$，故$b$不是内点。