1.设有矩阵A=}2&1&0&10&1&2&10&2&1&41&0&0&5，试估计矩阵A的特征值λ的范围.

为了估计矩阵 $ A = \begin{bmatrix}2&1&0&1\\0&1&2&1\\0&2&1&4\\1&0&0&5\end{bmatrix} $ 的特征值 $\lambda$ 的范围，我们可以使用盖尔圆定理。盖尔圆定理指出，矩阵的每个特征值都位于至少一个盖尔圆内。对于一个 $ n \times n $ 矩阵 $ A = [a_{ij}] $，第 $ i $ 个盖尔圆的中心是 $ a_{ii} $，半径是 $ R_i = \sum_{j \neq i} |a_{ij}| $。 让我们计算矩阵 $ A $ 的每个盖尔圆的中心和半径： 1. 对于第一行，中心是 $ a_{11} = 2 $，半径是 $ R_1 = |a_{12}| + |a_{13}| + |a_{14}| = 1 + 0 + 1 = 2 $。因此，第一个盖尔圆是 $ |z - 2| \leq 2 $。 2. 对于第二行，中心是 $ a_{22} = 1 $，半径是 $ R_2 = |a_{21}| + |a_{23}| + |a_{24}| = 0 + 2 + 1 = 3 $。因此，第二个盖尔圆是 $ |z - 1| \leq 3 $。 3. 对于第三行，中心是 $ a_{33} = 1 $，半径是 $ R_3 = |a_{31}| + |a_{32}| + |a_{34}| = 0 + 2 + 4 = 6 $。因此，第三个盖尔圆是 $ |z - 1| \leq 6 $。 4. 对于第四行，中心是 $ a_{44} = 5 $，半径是 $ R_4 = |a_{41}| + |a_{42}| + |a_{43}| = 1 + 0 + 0 = 1 $。因此，第四个盖尔圆是 $ |z - 5| \leq 1 $。 现在，让我们写出这些盖尔圆： 1. $ |z - 2| \leq 2 $ 意味着 $ 0 \leq z \leq 4 $。 2. $ |z - 1| \leq 3 $ 意味着 $ -2 \leq z \leq 4 $。 3. $ |z - 1| \leq 6 $ 意味着 $ -5 \leq z \leq 7 $。 4. $ |z - 5| \leq 1 $ 意味着 $ 4 \leq z \leq 6 $。 矩阵 $ A $ 的特征值必须位于这些盖尔圆的并集中。盖尔圆的并集是 $ -5 \leq z \leq 7 $。 因此，矩阵 $ A $ 的特征值 $\lambda$ 的范围是 $\boxed{[-5, 7]}$。