设 f(x)=} sin^3 x sin (1)/(x^3)+(ln(1+3x))/(x), & x>-(1)/(3), xneq0 a, & x=0 ，若 f(x) 在 x=0 处连续，则 a= ______A. 0B. 1C. 3D. 4

本题考查函数在某点连续的定义以及极限的计算。解题的关键在于利用函数在一点连续的充要条件，即该点处的函数值等于极限值，通过对函数在$x\to0$时的极限进行计算来确定$a$的值。

步骤一：根据函数连续的定义列出等式

已知函数$f(x)$在$x = 0$处连续，根据函数连续的定义可知$\lim\limits_{x\to0}f(x)=f(0)$。
由已知$f(0)=a$，所以需要计算$\lim\limits_{x\to0}f(x)$，即$\lim\limits_{x\to0}(\sin^3 x \sin \frac{1}{x^3}+\frac{\ln(1 + 3x)}{x})$。

步骤二：将极限拆分为两个极限的和

根据极限的加法法则$\lim\limits_{x\to x_0}(u(x)+v(x))=\lim\limits_{x\to x_0}u(x)+\lim\limits_{x\to x_0}v(x)$，可得：
$\lim\limits_{x\to0}(\sin^3 x \sin \frac{1}{x^3}+\frac{\ln(1 + 3x)}{x})=\lim\limits_{x\to0}\sin^3 x \sin \frac{1}{x^3}+\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1 + 3x)}{x}$

步骤三：计算$\lim\limits_{x\to0}\sin^3 x \sin \frac{1}{x^3}$

因为$\vert\sin\frac{1}{x^3}\vert\leqslant1$，即$\sin\frac{1}{x^3}$是有界函数，而$\lim\limits_{x\to0}\sin^3 x = 0$。
根据有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，可得$\lim\limits_{x\to0}\sin^3 x \sin \frac{1}{x^3}=0$。

步骤四：计算$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1 + 3x)}{x}$

当$x\to0$时，$\ln(1 + 3x)$与$3x$是等价无穷小，即$\ln(1 + 3x)\sim3x(x\to0)$。
所以$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1 + 3x)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{3x}{x}$。
对$\lim\limits_{x\to0}\frac{3x}{x}$进行化简，约去$x$可得$\lim\limits_{x\to0}3 = 3$。

步骤五：计算$\lim\limits_{x\to0}f(x)$

将$\lim\limits_{x\to0}\sin^3 x \sin \frac{1}{x^3}=0$和$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1 + 3x)}{x}=3$代入$\lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}\sin^3 x \sin \frac{1}{x^3}+\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1 + 3x)}{x}$，可得：
$\lim\limits_{x\to0}f(x)=0 + 3 = 3$

步骤六：确定$a$的值

因为$\lim\limits_{x\to0}f(x)=f(0)=a$，且$\lim\limits_{x\to0}f(x)=3$，所以$a = 3$。