线性非齐次方程组(dY)/(dx)=A(x)Y+F(x)，Y in mathbb(R)^n的所有解（）。A. 不构成一线性空间B. 构成一个无穷维线性空间C. 构成一个n+1维线性空间D. 构成一个n维线性空间

本题考查线性非齐次方程组解的性质以及线性空间的判定。解题的关键在于明确线性空间的定义，然后根据线性非齐次方程组解的特点来判断其所有解是否构成线性空间。

线性空间的定义

设 $V$ 是一个非空集合，$P$ 是一个数域。如果在集合 $V$ 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于 $V$ 中任意两个元素 $\alpha$ 与 $\beta$，在 $V$ 中都有唯一的一个元素 $\gamma$ 与它们对应，称为 $\alpha$ 与 $\beta$ 的和，记为 $\gamma=\alpha + \beta$。在数域 $P$ 与集合 $V$ 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域 $P$ 中任一数 $k$ 与 $V$ 中任一元素 $\alpha$，在 $V$ 中都有唯一的一个元素 $\delta$ 与它们对应，称为 $k$ 与 $\alpha$ 的数量乘积，记为 $\delta = k\alpha$。如果加法与数量乘法满足下述规则，那么 $V$ 称为数域 $P$ 上的线性空间：

1. $\alpha+\beta=\beta+\alpha$；
2. $(\alpha + \beta)+\gamma=\alpha+(\beta + \gamma)$；
3. 在 $V$ 中有一个元素 $0$，对于 $V$ 中任一元素 $\alpha$ 都有 $\alpha+0=\alpha$（具有这个性质的元素 $0$ 称为 $V$ 的零元素）；
4. 对于 $V$ 中每一个元素 $\alpha$，都有 $V$ 中的元素 $\beta$，使得 $\alpha+\beta = 0$（$\beta$ 称为 $\alpha$ 的负元素）；
5. $1\alpha=\alpha$；
6. $k(l\alpha)=(kl)\alpha$；
7. $(k + l)\alpha=k\alpha+l\alpha$；
8. $k(\alpha+\beta)=k\alpha + k\beta$；
   其中 $\alpha,\beta,\gamma$ 是 $V$ 中任意元素，$k,l$ 是 $P$ 中任意数。

线性非齐次方程组解的性质

设 $Y_1(x)$ 和 $Y_2(x)$ 是线性非齐次方程组 $\frac{dY}{dx}=A(x)Y+F(x)$ 的两个解，即：
$\frac{dY_1}{dx}=A(x)Y_1+F(x)$ ①
$\frac{dY_2}{dx}=A(x)Y_2+F(x)$ ②

考虑 $Y_1(x)+Y_2(x)$ 是否为方程组的解，对 $Y_1(x)+Y_2(x)$ 求导：
$\frac{d(Y_1 + Y_2)}{dx}=\frac{dY_1}{dx}+\frac{dY_2}{dx}$
将①②代入上式得：
$\frac{d(Y_1 + Y_2)}{dx}=A(x)Y_1+F(x)+A(x)Y_2+F(x)=A(x)(Y_1 + Y_2)+2F(x)$
因为 $F(x)\neq0$（若 $F(x)=0$ 则为齐次方程组），所以 $\frac{d(Y_1 + Y_2)}{dx}\neq A(x)(Y_1 + Y_2)+F(x)$，即 $Y_1(x)+Y_2(x)$ 不是方程组的解，不满足线性空间中加法封闭性。

同理，对于任意常数 $k$，$kY_1(x)$ 也不一定是方程组的解，不满足线性空间中数量乘法封闭性。

所以线性非齐次方程组 $\frac{dY}{dx}=A(x)Y+F(x)$ 的所有解不构成一线性空间。