题目

设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 A 的秩为 n−1 ，则线性方程组 AX=0 的通解为 ______.

题目解答

答案

n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，

说明 (1,1,…,1)T(n 个 1 的列向量 ) 为 Ax=0 的一个解，

由于 A 的秩为： n−1 ，

从而基础解系的维度为： n−r(A) ，

故 A 的基础解系的维度为 1 ，

由于 (1,1,…,1)T 是方程的一个解，不为 0 ，

所以 Ax=0 的通解为： k(1,1,…,1)T.

解析

步骤 1：确定方程组的解空间
由于矩阵 A 的各行元素之和均为零，可以推断出向量 (1,1,…,1)T 是方程组 AX=0 的一个解，因为 A 的每一行与 (1,1,…,1)T 的点积均为零。
步骤 2：确定基础解系的维度
由于 A 的秩为 n−1，根据秩-零度定理，方程组 AX=0 的解空间的维度为 n−r(A) = n−(n−1) = 1。这意味着方程组 AX=0 的基础解系的维度为 1。
步骤 3：确定通解
由于 (1,1,…,1)T 是方程组 AX=0 的一个非零解，且基础解系的维度为 1，所以 (1,1,…,1)T 构成方程组 AX=0 的基础解系。因此，方程组 AX=0 的通解为 k(1,1,…,1)T，其中 k 是任意实数。