求微分方程 ln ydx+(x-ln y)dy=0 的通解.

步骤 1：将方程变形为一阶线性微分方程的标准形式
原方程为 $y\ln ydx+(x-\ln y)dy=0$，可以变形为 $\dfrac {dx}{dy}+\dfrac {1}{y\ln y}x=\dfrac {1}{y}$。这是一个关于 $x$ 的一阶线性微分方程，其中 $P(y)=\dfrac {1}{y\ln y}$，$Q(y)=\dfrac {1}{y}$。

步骤 2：求解一阶线性微分方程的通解
一阶线性微分方程的通解公式为 $x=e^{-\int P(y)dy}[\int Q(y)e^{\int P(y)dy}dy+C]$。将 $P(y)$ 和 $Q(y)$ 代入公式中，得到 $x=e^{-\int \dfrac {1}{y\ln y}dy}[\int \dfrac {1}{y}e^{\int \dfrac {1}{y\ln y}dy}dy+C]$。

步骤 3：计算积分
首先计算 $\int \dfrac {1}{y\ln y}dy$，令 $u=\ln y$，则 $du=\dfrac {1}{y}dy$，所以 $\int \dfrac {1}{y\ln y}dy=\int \dfrac {1}{u}du=\ln |u|+C=\ln |\ln y|+C$。因此，$e^{-\int \dfrac {1}{y\ln y}dy}=e^{-\ln |\ln y|}=e^{\ln |\ln y|^{-1}}=\dfrac {1}{\ln y}$。接下来计算 $\int \dfrac {1}{y}e^{\int \dfrac {1}{y\ln y}dy}dy=\int \dfrac {1}{y}e^{\ln |\ln y|}dy=\int \dfrac {1}{y}\ln ydy$。令 $u=\ln y$，则 $du=\dfrac {1}{y}dy$，所以 $\int \dfrac {1}{y}\ln ydy=\int udu=\dfrac {1}{2}u^2+C=\dfrac {1}{2}(\ln y)^2+C$。因此，$x=\dfrac {1}{\ln y}[\dfrac {1}{2}(\ln y)^2+C]=\dfrac {1}{2}\ln y+\dfrac {C}{\ln y}$。

步骤 4：整理通解
整理得到 $x=\dfrac {1}{2}\ln y+\dfrac {C}{\ln y}$，即 $2x\ln y=(\ln y)^2+C$。