题目
20.（简答题，8.0分）7.（8分）计算曲线积分oint_(L)(y+ln(2+x+y^2))dx+2yln(2+x+y^2)dy其中L上半圆周y=sqrt(1-x^2)从点A(-1,0)到B(1,0)的一段弧.
20.（简答题，8.0分）
7.（8分）计算曲线积分$\oint_{L}(y+\ln(2+x+y^{2}))dx+2y\ln(2+x+y^{2})dy$
其中L上半圆周$y=\sqrt{1-x^{2}}$从点A(-1,0)到B(1,0)的一段弧.
题目解答
答案
设 $P = y + \ln(2 + x + y^2)$，$Q = 2y \ln(2 + x + y^2)$。
补辅助线 $L_1: y = 0$（从 $x = 1$ 到 $-1$），则
\[
\oint_{L+L_1} P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA = -\text{Area}(D) = -\frac{\pi}{2}.
\]
计算 $L_1$ 上积分：
\[
\int_{L_1} P \, dx = -\int_{-1}^{1} \ln(2 + x) \, dx = -(3 \ln 3 - 2) = 2 - 3 \ln 3.
\]
原积分：
\[
\int_L P \, dx + Q \, dy = -\frac{\pi}{2} - (2 - 3 \ln 3) = \boxed{3 \ln 3 - \frac{\pi}{2} - 2}.
\]
解析
步骤 1：定义函数 $P$ 和 $Q$
设 $P = y + \ln(2 + x + y^2)$，$Q = 2y \ln(2 + x + y^2)$。
步骤 2：补辅助线 $L_1$
补辅助线 $L_1: y = 0$（从 $x = 1$ 到 $-1$），则 \[ \oint_{L+L_1} P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA. \]
步骤 3：计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$
计算 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{2y}{2 + x + y^2}$，$\frac{\partial P}{\partial y} = 1 + \frac{2y}{2 + x + y^2}$。
步骤 4：计算 $\iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA$
则 $\iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA = -\text{Area}(D) = -\frac{\pi}{2}$.
步骤 5：计算 $L_1$ 上积分
计算 $L_1$ 上积分： \[ \int_{L_1} P \, dx = -\int_{-1}^{1} \ln(2 + x) \, dx = -(3 \ln 3 - 2) = 2 - 3 \ln 3. \]
步骤 6：计算原积分
原积分： \[ \int_L P \, dx + Q \, dy = -\frac{\pi}{2} - (2 - 3 \ln 3) = 3 \ln 3 - \frac{\pi}{2} - 2. \]
设 $P = y + \ln(2 + x + y^2)$，$Q = 2y \ln(2 + x + y^2)$。
步骤 2：补辅助线 $L_1$
补辅助线 $L_1: y = 0$（从 $x = 1$ 到 $-1$），则 \[ \oint_{L+L_1} P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA. \]
步骤 3：计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$
计算 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{2y}{2 + x + y^2}$，$\frac{\partial P}{\partial y} = 1 + \frac{2y}{2 + x + y^2}$。
步骤 4：计算 $\iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA$
则 $\iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA = -\text{Area}(D) = -\frac{\pi}{2}$.
步骤 5：计算 $L_1$ 上积分
计算 $L_1$ 上积分： \[ \int_{L_1} P \, dx = -\int_{-1}^{1} \ln(2 + x) \, dx = -(3 \ln 3 - 2) = 2 - 3 \ln 3. \]
步骤 6：计算原积分
原积分： \[ \int_L P \, dx + Q \, dy = -\frac{\pi}{2} - (2 - 3 \ln 3) = 3 \ln 3 - \frac{\pi}{2} - 2. \]