已知函数 ，求及.解：设 _________._____ ，_____ ，_____ ，则=____________.=____________.

本题考查隐函数的偏导数计算。核心思路是将原方程转化为隐函数形式$F(x,y,z)=0$，再利用隐函数求导法则计算偏导数。关键在于：

1. 构造合适的$F(x,y,z)$，将原方程整理为$F=0$的形式；
2. 正确计算$F$对$x$、$y$、$z$的偏导数；
3. 代入公式$\dfrac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{F_x}{F_z}$和$\dfrac{\partial z}{\partial y} = -\dfrac{F_y}{F_z}$。

构造隐函数$F(x,y,z)$

原方程$\dfrac{3x}{z} = \ln \dfrac{z}{y}$可变形为：
$3x = z \ln \dfrac{z}{y} \implies 3x - z \ln z + z \ln y = 0$
因此，设隐函数为：
$F(x,y,z) = 3x - z \ln z + z \ln y$

计算偏导数

1. $F_x$：仅$3x$项含$x$，偏导数为：
   $F_x = \dfrac{\partial F}{\partial x} = 3$

2. $F_y$：仅$z \ln y$项含$y$，偏导数为：
   $F_y = \dfrac{\partial F}{\partial y} = \dfrac{z}{y}$

3. $F_z$：对$z$求导需逐项计算：

   • $-z \ln z$项导数为$-\ln z -1$；
   • $z \ln y$项导数为$\ln y$；
     综上：
     $F_z = \dfrac{\partial F}{\partial z} = -\ln z -1 + \ln y = \ln y - \ln z -1$

代入隐函数求导公式

1. $\dfrac{\partial z}{\partial x}$：
   $\dfrac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{F_x}{F_z} = -\dfrac{3}{\ln y - \ln z -1}$

2. $\dfrac{\partial z}{\partial y}$：
   $\dfrac{\partial z}{\partial y} = -\dfrac{F_y}{F_z} = -\dfrac{\dfrac{z}{y}}{\ln y - \ln z -1} = -\dfrac{z}{y(\ln y - \ln z -1)}$