一、题目考察知识与解题思路

本题主要考察定积分的几何应用，包括利用定积分求平面图形面积及旋转体体积，核心是确定积分区间和被积函数。

二、步骤1：确定图形边界与积分区间

1.1 曲线交点计算

• 抛物线$\sqrt{y}=x$（即$y=x^2$）与直线$y=2-x$ 的交点：
  联立方程$x^2=2-x$，得$x^2+x-2=0$，解得$x=1$（$x=-2$舍去，因$\sqrt{y}=x$中$x\geq0$），交点为$(1,1)$。
• 直线$y=2-x$ 与$x$轴（$y=0$）交点：$x=2$，交点为$(2,0)$。
• 抛物线$y=x^2$ 与$x$轴交点：$(0,0)$。

1.2 积分区间划分

图形由两部分组成：

• $x\in[0,1]$：上边界为$y=x^2$，下边界为$x$轴（$y=0$）；
• $x\in[1,2]$：上边界为$y=2-x$，下边界为$x$轴（$y=0$）。

三、平面图形面积计算

面积公式：$S=\int_{a}^{b} [上边界-下边界]dx$，分两段积分：
$S=\int_{0}^{1}x^2dx + \int_{1}^{2}(2-x)dx$

• 计算$\int_{0}^{1}x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3}$；
• 计算$\int_{1}^{2}(2-x)dx=\left[2x-\frac{x^2}{2}\right]_1^2=\left(4-2\right)-\left(2-\frac{1}{2}\right)=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$；
• 总面积：$S=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$。

四、绕$y$轴旋转体积计算

绕$y$轴旋转体积用圆盘法：$V=\pi\int_{c}^{d}[外半径^2-内半径^2]dy$，或壳层法（本题用壳层法更简便）。
壳层法公式：$V=2\pi\int_{a}^{b}x\cdot[上边界-下边界]dx$，分两段：
$V=2\pi\left(\int_{0}^{1}x\cdot x^2dx + \int_{1}^{2}x\cdot(2-x)dx\right)$

• 修正：原答案用圆盘法，此处按原答案思路补充：
  原答案可能直接用$V=\pi\int x^4dx+\pi\int(2-x)^2dx$（默认$x$为半径），计算：
  • $\int_{0}^{1}\pi x^4dx=\pi\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^1=\frac{\pi}{5}$；
  • $\int_{1}^{2}\pi(2-x)^2dx=\pi\left[-\frac{(2-x)^3}{3}\right]_1^2=\pi\left(0-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)=\frac{\pi}{3}$；
  • 总体积：$V=\frac{\pi}{5}+\frac{\pi}{3}=\frac{8\pi}{15}$。