题目

lim _(xarrow 0)((1+sin x{e)^x-1)}^dfrac (1{x)}= ().A. lim _(xarrow 0)((1+sin x{e)^x-1)}^dfrac (1{x)}= ()B. lim _(xarrow 0)((1+sin x{e)^x-1)}^dfrac (1{x)}= ()C. lim _(xarrow 0)((1+sin x{e)^x-1)}^dfrac (1{x)}= ()D. lim _(xarrow 0)((1+sin x{e)^x-1)}^dfrac (1{x)}= ()

$\lim_{x\rightarrow0}\left(1+\sin x\mathrm{e}^{x-1}\right)^{\frac{1}{x}}=(\quad)$ .

A. $1$

B. $e^{\frac{1}{e}}$

C. $e$

D. $e^2$

题目解答

答案

解：因为

$\lim_{x\rightarrow0}\left(1+\sin x\mathrm{e}^{x-1}\right)^{\frac{1}{x}}$

$=\lim_{x\rightarrow0}\left(1+\sin x\mathrm{e}^{x-1}\right)^{\frac{1}{\sin x\mathrm{e}^{x-1}}·\frac{\sin x\mathrm{e}^{x-1}}{x}}$

$=e^{\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x\mathrm{e}^{x-1}}{x}}$ ，

对于 $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x\mathrm{e}^{x-1}}{x}$ ，

利用等价无穷小量替换公式： $\sin x\sim x$ ，则 $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x\mathrm{e}^{x-1}}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x\mathrm{e}^{x-1}}{x}=\lim_{x\rightarrow0}e^{x-1}=e^{-1}$

，由此可得： $e^{\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x\mathrm{e}^{x-1}}{x}}=e^{e^{-1}}=e^{\frac{1}{e}}$ ，

所以 $\lim_{x\rightarrow0}\left(1+\sin x\mathrm{e}^{x-1}\right)^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{e}}$ .

故答案为：B.

解析

步骤 1：确定极限形式
首先，我们观察到极限的形式为$\lim _{x\rightarrow 0}{(1+\sin x{e}^{x-1})}^{\dfrac {1}{x}}$，这是一个$1^\infty$型的极限，需要进行变形处理。

步骤 2：变形处理
将原极限变形为$\lim _{x\rightarrow 0}(1+\sin x{e}^{x-1})^{\frac{1}{\sin x{e}^{x-1}}\cdot \frac{\sin x{e}^{x-1}}{x}}$，这样可以利用极限$\lim _{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$。

步骤 3：计算极限
计算$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin x{e}^{x-1}}{x}$，利用等价无穷小量替换公式：$\sin x\sim x$，则$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin x{e}^{x-1}}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac{x{e}^{x-1}}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}{e}^{x-1}={e}^{-1}$。

步骤 4：得出结论
根据步骤2和步骤3，我们得出$\lim _{x\rightarrow 0}{(1+\sin x{e}^{x-1})}^{\dfrac {1}{x}}={e}^{\dfrac {1}{e}}$。