题目

求曲线 ) (x)^2+(y)^2+(z)^2-3x=0 2x-3y+5z-4=0 . ,在点(1,1,1)处的切线及法平面方程.

题目解答

答案

解析

本题考查空间曲线的切线与法平面方程的求解，解题的关键在于利用隐函数求导法则求出曲线在给定点处的切向量，进而得到切线方程和法平面方程。

  1. 设函数并求偏导数：
    设$F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-3x$，$G(x,y,z)=2x - 3y + 5z - 4$。
    分别对$F(x,y,z)$和$G(x,y,z)$求关于$x$、$y$、$z$的偏导数：
    • 对$F(x,y,z)$求偏导数：
      • $F_{x}=\frac{\partial F}{\partial x}=2x - 3$；
      • $F_{y}=\frac{\partial F}{\partial y}=2y$；
      • $F_{z}=\frac{\partial F}{\partial z}=2z$。
    • 对$G(x,y,z)$求偏导数：
      • $G_{x}=\frac{\partial G}{\partial x}=2$；
      • $G_{y}=\frac{\partial G}{\partial y}=-3$；
      • $G_{z}=\frac{\partial G}{\partial z}=5$。
  2. 求曲线在点$(1,1,1)$处的切向量：
    根据空间曲线$\left\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{array}\right.$在点$(x_0,y_0,z_0)$处的切向量$\vec{T}=\left\{\left|\begin{array}{ll}F_{y}&F_{z}\\G_{y}&G_{z}\end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll}F_{z}&F_{x}\\G_{z}&G_{x}\end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll}F_{x}&F_{y}\\G_{x}&G_{y}\end{array}\right|\right\}$。
    将$x_0 = 1$，$y_0 = 1$，$z_0 = 1$代入偏导数中：
    • $F_{x}(1,1,1)=2\times1 - 3=-1$；
    • $F_{y}(1,1,1)=2\times1 = 2$；
    • $F_{z}(1,1,1)=2\times1 = 2$。
      计算行列式：
    • $\left|\begin{array}{ll}F_{y}&F_{z}\\G_{y}&G_{z}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}2&2\\ -3&5\end{array}\right|=2\times5 - 2\times(-3)=10 + 6 = 16$；
    • $\left|\begin{array}{ll}F_{z}&F_{x}\\G_{z}&G_{x}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 5&2\end{array}\right|=2\times2 - (-1)\times5 = 4 + 5 = 9$；
    • $\left|\begin{array}{ll}F_{x}&F_{y}\\G_{x}&G_{y}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}-1&2\\ 2& -3\end{array}\right|=(-1)\times(-3) - 2\times2 = 3 - 4 = -1$。
      所以切向量$\vec{T}=\{16,9,-1\}$。
  3. 求切线方程：
    已知曲线过点$(1,1,1)$，切向量为$\vec{T}=\{16,9,-1\}$，根据空间直线的点向式方程$\frac{x - x_0}{m}=\frac{y - y_0}{n}=\frac{z - z_0}{p}$（其中$(x_0,y_0,z_0)$为直线上一点，$\{m,n,p\}$为直线的方向向量），可得切线方程为$\frac{x - 1}{16}=\frac{y - 1}{9}=\frac{z - 1}{-1}$。
  4. 求法平面方程：
    已知曲线过点$(1,1,1)$，切向量$\vec{T}=\{16,9,-1\}$为法平面的法向量，根据空间平面的点法式方程$A(x - x_0)+B(y - y_0)+C(z - z_0)=0$（其中$(x_0,y_0,z_0)$为平面上一点，$\{A,B,C\}$为平面的法向量），可得法平面方程为$16(x - 1)+9(y - 1)-(z - 1)=0$。
    展开并化简得：
    $\begin{align*} 16(x - 1)+9(y - 1)-(z - 1)&=0\\ 16x - 16 + 9y - 9 - z + 1&=0\\ 16x + 9y - z - 24&=0 \end{align*}$