题目
设函数f(x)具有任意阶导数,且f’(x)=[f(x)]2,则f(n)(x)= ( )A. n[f(x)]n+1B. n![f(x)]n+1C. (n+1)[f(x)]n+1D. (n+1)![f(x)]n+1
设函数f(x)具有任意阶导数,且f’(x)=[f(x)]2,则f(n)(x)= ( )
A. n[f(x)]n+1
B. n![f(x)]n+1
C. (n+1)[f(x)]n+1
D. (n+1)![f(x)]n+1
题目解答
答案
B. n![f(x)]n+1
解析
步骤 1：确定一阶导数
已知函数f(x)的一阶导数f’(x)=[f(x)]^2。
步骤 2：确定二阶导数
对f’(x)求导，得到f''(x) = 2f(x)f'(x) = 2f(x)[f(x)]^2 = 2[f(x)]^3。
步骤 3：确定三阶导数
对f''(x)求导，得到f'''(x) = 6[f(x)]^2f'(x) = 6[f(x)]^2[f(x)]^2 = 6[f(x)]^4。
步骤 4：归纳n阶导数
观察上述导数的规律，可以发现f(n)(x) = n![f(x)]^(n+1)。
已知函数f(x)的一阶导数f’(x)=[f(x)]^2。
步骤 2：确定二阶导数
对f’(x)求导，得到f''(x) = 2f(x)f'(x) = 2f(x)[f(x)]^2 = 2[f(x)]^3。
步骤 3：确定三阶导数
对f''(x)求导，得到f'''(x) = 6[f(x)]^2f'(x) = 6[f(x)]^2[f(x)]^2 = 6[f(x)]^4。
步骤 4：归纳n阶导数
观察上述导数的规律，可以发现f(n)(x) = n![f(x)]^(n+1)。