今年考题 (2025,1)设n阶矩阵A,B,C满足r(A)+r(B)+r(C)=r(ABC)+2n.则下面4个结论中一定正确的是 ①r(ABC)+n=r(AB)+r(C). ②r(AB)+n=r(A)+r(B). ③r(A)=r(B)=r(C)=n. ④r(AB)=r(BC)=n. (A.)①②. (B.)①③. (C.)②④. (D.)③④.

我们来分析题目中的条件和选项，以确定哪些结论一定正确。 题目条件： \[ r(A) + r(B) + r(C) = r(ABC) + 2n \] 其中 $ r(X) $ 表示矩阵 $ X $ 的秩。 ### 分析 1. **秩的性质**： - 对于任意矩阵 $ A $ 和 $ B $，有 $ r(AB) \leq \min(r(A), r(B)) $。 - 对于任意矩阵 $ A $，有 $ r(A) \leq n $（因为 $ A $ 是 $ n $ 阶矩阵）。 2. **题目条件的变形**： \[ r(A) + r(B) + r(C) = r(ABC) + 2n \] 可以变形为： \[ r(A) + r(B) + r(C) - r(ABC) = 2n \] 3. **秩的不等式**： - 由于 $ r(AB) \leq \min(r(A), r(B)) $，我们有 $ r(AB) \leq r(A) $ 和 $ r(AB) \leq r(B) $。 - 同理， $ r(BC) \leq \min(r(B), r(C)) $，我们有 $ r(BC) \leq r(B) $ 和 $ r(BC) \leq r(C) $。 - $ r(ABC) \leq \min(r(AB), r(C)) $，我们有 $ r(ABC) \leq r(AB) $ 和 $ r(ABC) \leq r(C) $。 ### 选项分析 1. **选项①**： \[ r(ABC) + n = r(AB) + r(C) \] 从题目条件出发： \[ r(A) + r(B) + r(C) - r(ABC) = 2n \] 变形为： \[ r(A) + r(B) = r(ABC) + 2n - r(C) \] 代入选项①： \[ r(ABC) + n = r(AB) + r(C) \] 两边同时减去 $ r(C) $： \[ r(ABC) + n - r(C) = r(AB) \] 代入题目条件： \[ r(A) + r(B) - n = r(AB) \] 这个等式不一定成立，因为 $ r(AB) \leq \min(r(A), r(B)) $，但不一定等于 $ r(A) + r(B) - n $。 2. **选项②**： \[ r(AB) + n = r(A) + r(B) \] 从题目条件出发： \[ r(A) + r(B) + r(C) - r(ABC) = 2n \] 变形为： \[ r(A) + r(B) = r(ABC) + 2n - r(C) \] 代入选项②： \[ r(AB) + n = r(A) + r(B) \] 两边同时减去 $ n $： \[ r(AB) = r(A) + r(B) - n \] 这个等式不一定成立，因为 $ r(AB) \leq \min(r(A), r(B)) $，但不一定等于 $ r(A) + r(B) - n $。 3. **选项③**： \[ r(A) = r(B) = r(C) = n \] 如果 $ r(A) = r(B) = r(C) = n $，则： \[ r(A) + r(B) + r(C) = 3n \] 代入题目条件： \[ 3n = r(ABC) + 2n \] 解得： \[ r(ABC) = n \] 这个结论是可能的，因为如果 $ A $、$ B $ 和 $ C $ 都是满秩矩阵，那么 $ ABC $ 也是满秩矩阵。 4. **选项④**： \[ r(AB) = r(BC) = n \] 如果 $ r(AB) = n $ 和 $ r(BC) = n $，则： \[ r(AB) = n \] \[ r(BC) = n \] 代入题目条件： \[ r(A) + r(B) + r(C) = r(ABC) + 2n \] 由于 $ r(AB) = n $ 和 $ r(BC) = n $，我们有： \[ r(ABC) \leq n \] 代入题目条件： \[ r(A) + r(B) + r(C) = r(ABC) + 2n \] 由于 $ r(ABC) \leq n $，我们有： \[ r(A) + r(B) + r(C) \leq 3n \] 代入题目条件： \[ r(A) + r(B) + r(C) = 3n \] 这意味着 $ r(A) = r(B) = r(C) = n $，这与选项③一致。 ### 结论 从以上分析可以看出，选项③和选项④是一定正确的。因此，正确答案是： $\boxed{B}$