13.根据定积分的性质及第12题的结论,说明下列各对积分中哪一个的值较大:-|||-(1) ∫。x^2dx还是 x^3dx?-|||-(2) x^2dx还是 ^3dx?-|||-(3) ln xdx 还是 (int )_(1)^2((ln x))^2dx-|||-(4) xdx还是 (int )_(0)^1ln (1+x)dx-|||-(5) e^xdx还是 (int )_(0)^1(1+x)dx

本题主要考查定积分的比较定理及其应用。解题核心思路是：

1. 比较被积函数在积分区间上的大小关系，若$f(x) \geq g(x)$，则$\int_a^b f(x)dx \geq \int_a^b g(x)dx$；
2. 若积分区间不同，需通过计算具体积分值或变量代换进行比较；
3. 特别关注被积函数的取值范围（如$\ln x$在区间$[1,2]$的范围为$[0,\ln 2]$）。

(1) $\int_0^1 x^2 dx$ 与 $\int_0^1 x^3 dx$

比较被积函数大小

在区间$[0,1]$，对任意$x$，有$x^2 \geq x^3$（因$x \leq 1$时$x^2 \geq x^3$）。

结论

$\int_0^1 x^2 dx \geq \int_0^1 x^3 dx$。

(2) $\int_0^1 x^2 dx$ 与 $\int_1^2 x^3 dx$

计算积分值

• $\int_0^1 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3}$；
• $\int_1^2 x^3 dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_1^2 = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$。

比较结果

$\frac{15}{4} > \frac{1}{3}$，故$\int_1^2 x^3 dx$较大。

(3) $\int_1^2 \ln x dx$ 与 $\int_1^2 (\ln x)^2 dx$

比较被积函数大小

在区间$[1,2]$，$\ln x \in [0, \ln 2]$，故$(\ln x)^2 \leq \ln x$（因$0 \leq \ln x \leq 1$时，平方后更小）。

结论

$\int_1^2 \ln x dx \geq \int_1^2 (\ln x)^2 dx$。

(4) $\int_0^1 x dx$ 与 $\int_0^1 \ln(1+x) dx$

比较被积函数大小

在区间$[0,1]$，$x \geq \ln(1+x)$（可通过泰勒展开或函数图像分析）。

结论

$\int_0^1 x dx \geq \int_0^1 \ln(1+x) dx$。

(5) $\int_0^1 e^x dx$ 与 $\int_0^1 (1+x) dx$

计算积分值

• $\int_0^1 e^x dx = e - 1 \approx 1.718$；
• $\int_0^1 (1+x) dx = \left[x + \frac{x^2}{2}\right]_0^1 = 1.5$。

比较结果

$e - 1 > 1.5$，故$\int_0^1 e^x dx$较大。