题目

1.若曲线{}x=e^ty=e^2nt+t=_____.

1.若曲线$\left\{\begin{matrix}x=e^{t}\\y=e^{2nt}+t\end{matrix}\right. $在点(1,1)处的切线与x轴的交点横坐标为$x_{n}$,则$\lim_{n\to\infty}x_{n}^{n}=$_____.

题目解答

答案

1. **确定参数 $t$：** 点 (1, 1) 对应 $t = 0$，满足 $x = e^0 = 1$，$y = e^0 + 0 = 1$。 2. **计算切线斜率：** \[ \frac{dx}{dt} = e^t, \quad \frac{dy}{dt} = 2ne^{2nt} + 1 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{dy}{dx} = \frac{2n + 1}{1} = 2n + 1 \quad \text{(在 $t = 0$ 处)} \] 3. **切线方程：** \[ y - 1 = (2n + 1)(x - 1) \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2n}{2n + 1} \quad \text{(令 $y = 0$)} \] 故 $x_n = \frac{2n}{2n + 1}$。 4. **求极限：** \[ \lim_{n \to \infty} x_n^n = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{2n + 1}\right)^n = e^{-\frac{1}{2}} \] （利用 $\ln(1 - x) \approx -x$ 和指数极限性质）。 **答案：** \[ \boxed{e^{-\frac{1}{2}}} \]

解析

考查要点：本题主要考查参数方程的导数计算、切线方程的求解，以及极限的计算。关键在于正确找到参数对应的点，求出切线斜率，并利用极限公式进行化简。

解题思路：

  1. 确定参数值：通过点$(1,1)$确定参数$t$的值。
  2. 求导数：利用参数方程求导公式计算$\frac{dy}{dx}$，得到切线斜率。
  3. 切线方程：根据点斜式写出切线方程，并求出与x轴交点的横坐标$x_n$。
  4. 极限计算：将$x_n^n$转化为指数形式，利用自然对数的泰勒展开或已知极限公式求解。

破题关键：正确应用参数方程的导数公式，以及将极限表达式转化为标准形式$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{2n}\right)^n$。

1. 确定参数$t$

当曲线经过点$(1,1)$时，由$x = e^t = 1$得$t = 0$。代入$y = e^{2nt} + t$验证：$y = e^0 + 0 = 1$，符合题意。

2. 计算切线斜率

参数方程的导数为：
$\frac{dx}{dt} = e^t, \quad \frac{dy}{dt} = 2n e^{2nt} + 1$
因此，$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{2n e^{2nt} + 1}{e^t}$。
当$t = 0$时，$\frac{dy}{dx} = \frac{2n \cdot 1 + 1}{1} = 2n + 1$。

3. 切线方程与$x_n$的求解

切线方程为：
$y - 1 = (2n + 1)(x - 1)$
令$y = 0$，解得：
$0 - 1 = (2n + 1)(x - 1) \quad \Rightarrow \quad x = 1 - \frac{1}{2n + 1} = \frac{2n}{2n + 1}$
故$x_n = \frac{2n}{2n + 1}$。

4. 极限计算

将$x_n^n$变形为：
$\left(1 - \frac{1}{2n + 1}\right)^n = \exp\left(n \ln\left(1 - \frac{1}{2n + 1}\right)\right)$
当$n \to \infty$时，$\ln\left(1 - \frac{1}{2n + 1}\right) \approx -\frac{1}{2n}$，因此：
$\lim_{n \to \infty} n \cdot \left(-\frac{1}{2n}\right) = -\frac{1}{2}$
最终极限为：
$\exp\left(-\frac{1}{2}\right) = e^{-\frac{1}{2}}$