题目
已知3阶方阵A,B相似,且|A-2E|=0, |A-E|=0, |A|=2,则B*+E的3个特征值是_
已知3阶方阵A,B相似,且|A-2E|=0, |A-E|=0, |A|=2,则B*+E的3个特征值是_
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定A的特征值
由于 $|A-2E|=0$ 和 $|A-E|=0$，这意味着1和2是A的特征值。根据行列式的性质，$|A|=2$，可以确定A的第三个特征值。
步骤 2：计算A的第三个特征值
由于A的特征值之积等于行列式的值，设A的第三个特征值为 ${\lambda }_{3}$，则有 $2\times 1\times {\lambda }_{3}=2$，解得 ${\lambda }_{3}=1$。因此，A的特征值为1,1,2。
步骤 3：确定B的特征值
由于A与B相似，B的特征值与A相同，即B的特征值为1,1,2。
步骤 4：计算B*的特征值
对于n阶矩阵M，若λ是M的特征值，则M×的特征值为 $|M|\div \lambda $。已知B是三阶方阵，$|B|=|A|=2$，那么B×的特征值为 $\dfrac {|B|}{\lambda }$，分别对应 $2\div 1=2$，$2\div 1=2$，$2\div 2=1$。
步骤 5：计算B*+E的特征值
对于矩阵C，若μ是C的特征值，则C+E的特征值为 $\mu +1$。所以 ${B}^{*}+\overline {E}$ 的特征值为 2+1=3，2+1=3，1+1=2。
由于 $|A-2E|=0$ 和 $|A-E|=0$，这意味着1和2是A的特征值。根据行列式的性质，$|A|=2$，可以确定A的第三个特征值。
步骤 2：计算A的第三个特征值
由于A的特征值之积等于行列式的值，设A的第三个特征值为 ${\lambda }_{3}$，则有 $2\times 1\times {\lambda }_{3}=2$，解得 ${\lambda }_{3}=1$。因此，A的特征值为1,1,2。
步骤 3：确定B的特征值
由于A与B相似，B的特征值与A相同，即B的特征值为1,1,2。
步骤 4：计算B*的特征值
对于n阶矩阵M，若λ是M的特征值，则M×的特征值为 $|M|\div \lambda $。已知B是三阶方阵，$|B|=|A|=2$，那么B×的特征值为 $\dfrac {|B|}{\lambda }$，分别对应 $2\div 1=2$，$2\div 1=2$，$2\div 2=1$。
步骤 5：计算B*+E的特征值
对于矩阵C，若μ是C的特征值，则C+E的特征值为 $\mu +1$。所以 ${B}^{*}+\overline {E}$ 的特征值为 2+1=3，2+1=3，1+1=2。