题目

7.(填空题，4.0分)若齐次线性方程组A_(4times3)x=0只有零解，则R(A)=____

7.(填空题，4.0分) 若齐次线性方程组$A_{4\times3}x=0$只有零解，则R(A)=____

题目解答

答案

对于齐次线性方程组 $A_{4 \times 3}x = 0$，只有零解的条件是系数矩阵 $A$ 的秩等于未知数个数。由于 $A$ 为 $4 \times 3$ 矩阵，有 3 个未知数，故秩 $R(A)$ 必须等于 3。 根据矩阵秩的性质，$R(A) \leq \min(4, 3) = 3$，因此 $R(A) = 3$。 答案：$\boxed{3}$

解析

本题考查齐次线性方程组解的情况与系数矩阵秩的关系。解题思路如下：

  1. 首先明确齐次线性方程组解的判定定理：对于齐次线性方程组$Ax = 0$，其中$A$是系数矩阵，$x$是未知数向量。若方程组只有零解，则系数矩阵$A$的秩$R(A)$等于未知数的个数$n$；若方程组有非零解，则$R(A)
  2. 接着分析题目中的齐次线性方程组$A_{4\times3}x = 0$，这里矩阵$A$是$4\times3$矩阵，这意味着该方程组有$3$个未知数，即$n = 3$。
  3. 最后根据上述判定定理，因为该齐次线性方程组只有零解，所以$R(A)=n = 3$。同时，根据矩阵秩的性质，矩阵的秩不超过其行数和列数中的最小值，对于$4\times3$矩阵$A$，有$R(A)\leq\min(4,3)=3$，这也进一步验证了$R(A)=3$。