题目

6.[填空题]设A为3阶矩阵，且|A|=2，则|A^*|=____。

6.[填空题]设A为3阶矩阵，且$|A|=2$，则$|A^{*}|$=____。

题目解答

答案

根据伴随矩阵的性质，对于3阶矩阵 $ A $，有 $ |A^*| = |A|^{n-1} $，其中 $ n $ 为矩阵阶数。已知 $ |A| = 2 $，则： \[ |A^*| = |A|^{3-1} = |A|^2 = 2^2 = 4 \] 或者利用 $ A^* = |A|A^{-1} $，得： \[ |A^*| = |A|^3 \cdot |A^{-1}| = |A|^2 = 4 \] **答案：** $\boxed{4}$

解析

考查要点：本题主要考查伴随矩阵的行列式性质，需要学生掌握伴随矩阵与原矩阵行列式之间的关系。

解题核心思路：
利用伴随矩阵的性质公式：

  1. $|A^{*}| = |A|^{n-1}$（其中$n$为矩阵的阶数）。
  2. 或通过公式$A^{*} = |A|A^{-1}$推导，结合行列式的乘积性质求解。

破题关键点：

  • 明确矩阵阶数$n=3$，代入公式即可快速求解。

方法一：直接应用伴随矩阵行列式公式
根据性质$|A^{*}| = |A|^{n-1}$，其中$n=3$，代入已知条件$|A|=2$：
$|A^{*}| = |A|^{3-1} = |A|^{2} = 2^{2} = 4.$

方法二：通过逆矩阵推导
由公式$A^{*} = |A|A^{-1}$，两边取行列式：
$|A^{*}| = ||A|A^{-1}| = |A|^{3} \cdot |A^{-1}|.$
由于$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$，代入得：
$|A^{*}| = |A|^{3} \cdot \frac{1}{|A|} = |A|^{2} = 2^{2} = 4.$