题目
1 单选(10分)设随机变量列(xn)独立同分布,且X1服从指数分布,-|||-(X)_(1)=dfrac (1)(2), ({Y)_(n)}=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n({x)_(i)}^2, 则当 arrow infty 时,Yn依概率-|||-收敛形 ()-|||-A. dfrac (1)(4)-|||-B. dfrac (1)(2n)-|||-C. dfrac (1)(4n)-|||-D. dfrac (1)(2)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定X1的分布参数
由于X1服从指数分布，且 $E{X}_{1}=\dfrac {1}{2}$ ，根据指数分布的期望公式 $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ ，可以确定参数 $\lambda = 2$ 。
步骤 2：计算 $E({{X}_{i}}^{2})$
由于 $X_i$ 独立同分布，且 $X_i$ 服从参数为2的指数分布，根据指数分布的方差公式 $D(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}$ ，可以得到 $D(X_i) = \dfrac{1}{4}$ 。因此， $E({{X}_{i}}^{2}) = D(X_i) + (E(X_i))^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$ 。
步骤 3：应用大数定律
根据大数定律，当 $n \rightarrow \infty$ 时，样本均值 $\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}$ 依概率收敛于期望值 $E({{X}_{i}}^{2})$ 。因此， ${Y}_{n}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}$ 依概率收敛于 $\dfrac{1}{2}$ 。
由于X1服从指数分布，且 $E{X}_{1}=\dfrac {1}{2}$ ，根据指数分布的期望公式 $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ ，可以确定参数 $\lambda = 2$ 。
步骤 2：计算 $E({{X}_{i}}^{2})$
由于 $X_i$ 独立同分布，且 $X_i$ 服从参数为2的指数分布，根据指数分布的方差公式 $D(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}$ ，可以得到 $D(X_i) = \dfrac{1}{4}$ 。因此， $E({{X}_{i}}^{2}) = D(X_i) + (E(X_i))^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$ 。
步骤 3：应用大数定律
根据大数定律，当 $n \rightarrow \infty$ 时，样本均值 $\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}$ 依概率收敛于期望值 $E({{X}_{i}}^{2})$ 。因此， ${Y}_{n}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}$ 依概率收敛于 $\dfrac{1}{2}$ 。