题目

4.计算lim_(xto0)(int_(0)^x[e^(t-x)^(2)-1]sin tdt)/(x^2)(e^(x^{2)-1)}.

4.计算$\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}[e^{(t-x)^{2}}-1]\sin tdt}{x^{2}(e^{x^{2}}-1)}$.

题目解答

答案

设原式为 $L$，则
$L = \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} [e^{(t-x)^2} - 1] \sin t \, dt}{x^2 (e^{x^2} - 1)}.$
当 $x \to 0$ 时，分母 $x^2 (e^{x^2} - 1) \sim x^4$（因 $e^{x^2} - 1 \sim x^2$）。
分子中，$e^{(t-x)^2} - 1 \sim (t-x)^2$（当 $x \to 0$ 时），且 $\sin t \sim t$，故
$\int_{0}^{x} (t-x)^2 \sin t \, dt \sim \int_{0}^{x} (t-x)^2 t \, dt.$
计算积分得
$\int_{0}^{x} (t^3 - 2t^2x + x^2t) \, dt = \left[ \frac{t^4}{4} - \frac{2t^3x}{3} + \frac{x^2t^2}{2} \right]_0^x = \frac{x^4}{4} - \frac{2x^4}{3} + \frac{x^4}{2} = \frac{x^4}{12}.$
因此，
$L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^4}{12}}{x^4} = \frac{1}{12}.$
答案： $\boxed{\frac{1}{12}}$

解析

本题主要考查了等价无穷小替换以及定积分的计算在求极限问题中的应用。解题的关键思路是先利用等价无穷小简化原式的分子和分母，然后计算简化后分子的定积分，最后求出极限值。

  1. 等价无穷小替换分母：
    • 当$x\to0$时，根据等价无穷小的知识，$e^{x^{2}} - 1\sim x^{2}$。
    • 所以原式分母$x^{2}(e^{x^{2}} - 1)\sim x^{2}\cdot x^{2}=x^{4}$。
  2. 等价无穷小替换分子中的被积函数：
    • 当$x\to0$时，$e^{(t - x)^{2}} - 1\sim (t - x)^{2}$，同时$\sin t\sim t$。
    • 那么分子$\int_{0}^{x}[e^{(t - x)^{2}} - 1]\sin tdt\sim\int_{0}^{x}(t - x)^{2}tdt$。
  3. 计算定积分$\int_{0}^{x}(t - x)^{2}tdt$：
    • 先将$(t - x)^{2}$展开，根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a = t$，$b = x$，则$(t - x)^{2}=t^{2}-2tx + x^{2}$。
    • 所以$(t - x)^{2}t=(t^{2}-2tx + x^{2})t=t^{3}-2t^{2}x + x^{2}t$。
    • 再计算定积分$\int_{0}^{x}(t^{3}-2t^{2}x + x^{2}t)dt$，根据定积分的运算法则$\int_{a}^{b}(f(t)+g(t)+h(t))dt=\int_{a}^{b}f(t)dt+\int_{a}^{b}g(t)dt+\int_{a}^{b}h(t)dt$，可得：
      • $\int_{0}^{x}(t^{3}-2t^{2}x + x^{2}t)dt=\int_{0}^{x}t^{3}dt-2x\int_{0}^{x}t^{2}dt+x^{2}\int_{0}^{x}tdt$。
      • 根据定积分公式$\int_{0}^{x}t^{n}dt=\left[\frac{t^{n + 1}}{n+1}\right]_{0}^{x}=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$（$n\neq - 1$），则$\int_{0}^{x}t^{3}dt=\left[\frac{t^{4}}{4}\right]_{0}^{x}=\frac{x^{4}}{4}$，$2x\int_{0}^{x}t^{2}dt=2x\cdot\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{x}=\frac{2x^{4}}{3}$，$x^{2}\int_{0}^{x}tdt=x^{2}\cdot\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{x}=\frac{x^{4}}{2}$。
      • 所以$\int_{0}^{x}(t^{3}-2t^{2}x + x^{2}t)dt=\frac{x^{4}}{4}-\frac{2x^{4}}{3}+\frac{x^{4}}{2}$。
      • 通分计算$\frac{x^{4}}{4}-\frac{2x^{4}}{3}+\frac{x^{4}}{2}=\frac{3x^{4}-8x^{4}+6x^{4}}{12}=\frac{x^{4}}{12}$。
  4. 求极限$L$：
    • 由前面的计算可知$L = \lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}[e^{(t - x)^{2}} - 1]\sin tdt}{x^{2}(e^{x^{2}} - 1)}\sim\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^{4}}{12}}{x^{4}}$。
    • 约分可得$\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^{4}}{12}}{x^{4}}=\frac{1}{12}$。