[题目](1) dfrac {1)({2)^n}} -|||-(2) {(-1))^ndfrac (1)(n)} -|||-(3) 2+dfrac {1)({n)^2}} -|||-(4) dfrac {n-1)(n+1)} -|||-(5) n{(-1))^n} -|||-(6) dfrac {{2)^n-1}({3)^n}} -|||-(7) n-dfrac {1)(n)} -|||-(8) [ {(-1))^n+1] dfrac (n+1)(n)}

本题考查数列的收敛性判断及极限求解。核心思路是分析通项随$n$趋近无穷时的趋势：

1. 等比数列：公比绝对值小于1时收敛；
2. 交错数列：若绝对值趋于0且单调递减，则收敛；
3. 分式型数列：分子分母同次时极限为系数比；
4. 指数型数列：比较指数底数大小判断极限；
5. 发散数列：绝对值趋于无穷或振荡无界。

(1) $\left\{ \dfrac{1}{2^n} \right\}$

数列类型

等比数列，公比$q = \dfrac{1}{2}$。

极限分析

公比绝对值$|q| < 1$，当$n \to \infty$时，$\dfrac{1}{2^n} \to 0$。
结论：收敛，极限为$0$。

(2) $\left\{ (-1)^n \dfrac{1}{n} \right\}$

数列类型

交错数列，绝对值为$\dfrac{1}{n}$。

极限分析

$\dfrac{1}{n} \to 0$且单调递减，根据莱布尼茨判别法，收敛。
结论：收敛，极限为$0$。

(3) $\left\{ 2 + \dfrac{1}{n^2} \right\}$

数列拆分

$2 + \dfrac{1}{n^2} = 2 + \left( \dfrac{1}{n} \right)^2$。

极限分析

$\dfrac{1}{n^2} \to 0$，故整体趋于$2$。
结论：收敛，极限为$2$。

(4) $\left\{ \dfrac{n-1}{n+1} \right\}$

变形化简

$\dfrac{n-1}{n+1} = 1 - \dfrac{2}{n+1}$。

极限分析

$\dfrac{2}{n+1} \to 0$，故整体趋于$1$。
结论：收敛，极限为$1$。

(5) $\left\{ n(-1)^n \right\}$

数列特性

绝对值为$n$，随$n$增大无限增长。
结论：发散。

(6) $\left\{ \dfrac{2^n - 1}{3^n} \right\}$

拆分表达式

$\dfrac{2^n}{3^n} - \dfrac{1}{3^n} = \left( \dfrac{2}{3} \right)^n - \dfrac{1}{3^n}$。

极限分析

$\left( \dfrac{2}{3} \right)^n \to 0$，$\dfrac{1}{3^n} \to 0$，故整体趋于$0$。
结论：收敛，极限为$0$。

(7) $\left\{ n - \dfrac{1}{n} \right\}$

数列拆分

$n - \dfrac{1}{n} = n \left( 1 - \dfrac{1}{n^2} \right)$。

极限分析

$n \to \infty$，$\dfrac{1}{n^2} \to 0$，故整体趋于$\infty$。
结论：发散。

(8) $\left\{ [(-1)^n + 1] \dfrac{n+1}{n} \right\}$

分奇偶讨论

• 当$n$为偶数：$(-1)^n = 1$，表达式为$2 \cdot \dfrac{n+1}{n} \to 2$；
• 当$n$为奇数：$(-1)^n = -1$，表达式为$0 \cdot \dfrac{n+1}{n} = 0$。
  结论：极限不存在，发散。