1.设ξ为 (x)=arctan x 在[0,a]上使用微分中值定理的中值,则 lim _(aarrow 0)dfrac ({s)^2}({a)^2}= () .-|||-(A)1 (B) dfrac (1)(2) (C) dfrac (1)(3) . (D) dfrac (1)(4)

考查要点：本题主要考查微分中值定理（拉格朗日中值定理）的应用，以及利用等价无穷小或泰勒展开求极限的能力。

解题核心思路：

1. 根据微分中值定理，建立方程 $\arctan a = \dfrac{a}{1+\xi^2}$；
2. 将方程变形为 $\xi^2 = \dfrac{a}{\arctan a} - 1$；
3. 当 $a \to 0$ 时，利用 $\arctan a \sim a - \dfrac{a^3}{3}$ 进行等价替换，展开并化简表达式；
4. 计算 $\dfrac{\xi^2}{a^2}$ 的极限。

破题关键点：

• 正确应用微分中值定理，明确 $\xi$ 的表达式；
• 灵活运用泰勒展开或等价无穷小简化极限计算；
• 准确处理高阶无穷小，确保展开项的精度足够。

根据微分中值定理，存在 $\xi \in (0, a)$，使得：
$f(a) - f(0) = f'(\xi) \cdot a$
其中 $f(x) = \arctan x$，则 $f'(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$。代入得：
$\arctan a - \arctan 0 = \dfrac{a}{1+\xi^2}$
由于 $\arctan 0 = 0$，整理得：
$\arctan a = \dfrac{a}{1+\xi^2}$
进一步变形为：
$1+\xi^2 = \dfrac{a}{\arctan a} \quad \Rightarrow \quad \xi^2 = \dfrac{a}{\arctan a} - 1$

当 $a \to 0$ 时，利用泰勒展开 $\arctan a = a - \dfrac{a^3}{3} + o(a^3)$，代入上式：
$\xi^2 = \dfrac{a}{a - \dfrac{a^3}{3}} - 1 = \dfrac{1}{1 - \dfrac{a^2}{3}} - 1 \approx 1 + \dfrac{a^2}{3} - 1 = \dfrac{a^2}{3}$
因此：
$\lim_{a \to 0} \dfrac{\xi^2}{a^2} = \lim_{a \to 0} \dfrac{\dfrac{a^2}{3}}{a^2} = \dfrac{1}{3}$