题目
13.已知函数 f(x)= ) a+ln (1+x),xgeqslant 0 bx,xlt 0 . 在 x=0 处可导,求实数a和b的值
题目解答
答案
f(x)在x=0处可导,即f(x)在x=0处连续,
即当x从右边趋向0时,f(x)的极限存在,
当x从左边趋向0时,f(x)的极限存在,
且这两个极限相等.
所以：
a+ln(1+0)=b×0
a=0
又因为f(x)在x=0处可导,
所以,当x从右边趋向0时,f(x)的导数的极限存在,
当x从左边趋向0时,f(x)的导数的极限存在,
且这两个极限相等.
所以：
[a+ln(1+x)]'|(x=0)=b|(x=0)
1=b
所以,
a=0,b=1
解析
步骤 1：确定函数在 x=0 处连续
函数 f(x) 在 x=0 处可导，首先需要保证它在 x=0 处连续。这意味着当 x 从右边趋向 0 时，f(x) 的极限存在，当 x 从左边趋向 0 时，f(x) 的极限存在，且这两个极限相等。
步骤 2：计算 x=0 处的极限
当 x 从右边趋向 0 时，f(x) = a + ln(1+x)，所以极限为 a + ln(1+0) = a。
当 x 从左边趋向 0 时，f(x) = bx，所以极限为 b×0 = 0。
因此，a = 0。
步骤 3：确定函数在 x=0 处可导
函数 f(x) 在 x=0 处可导，意味着当 x 从右边趋向 0 时，f(x) 的导数的极限存在，当 x 从左边趋向 0 时，f(x) 的导数的极限存在，且这两个极限相等。
步骤 4：计算 x=0 处的导数
当 x 从右边趋向 0 时，f(x) = a + ln(1+x)，所以导数为 [a + ln(1+x)]' = 1/(1+x)，在 x=0 处的导数为 1。
当 x 从左边趋向 0 时，f(x) = bx，所以导数为 b。
因此，b = 1。
函数 f(x) 在 x=0 处可导，首先需要保证它在 x=0 处连续。这意味着当 x 从右边趋向 0 时，f(x) 的极限存在，当 x 从左边趋向 0 时，f(x) 的极限存在，且这两个极限相等。
步骤 2：计算 x=0 处的极限
当 x 从右边趋向 0 时，f(x) = a + ln(1+x)，所以极限为 a + ln(1+0) = a。
当 x 从左边趋向 0 时，f(x) = bx，所以极限为 b×0 = 0。
因此，a = 0。
步骤 3：确定函数在 x=0 处可导
函数 f(x) 在 x=0 处可导，意味着当 x 从右边趋向 0 时，f(x) 的导数的极限存在，当 x 从左边趋向 0 时，f(x) 的导数的极限存在，且这两个极限相等。
步骤 4：计算 x=0 处的导数
当 x 从右边趋向 0 时，f(x) = a + ln(1+x)，所以导数为 [a + ln(1+x)]' = 1/(1+x)，在 x=0 处的导数为 1。
当 x 从左边趋向 0 时，f(x) = bx，所以导数为 b。
因此，b = 1。