13.已知函数 f(x)= ) a+ln (1+x),xgeqslant 0 bx,xlt 0 . 在 x=0 处可导,求实数a和b的值

考查要点：本题主要考查分段函数在分界点处的可导性条件，涉及函数连续性和导数存在的判定。

解题核心思路：

1. 可导必连续：首先确保函数在$x=0$处连续，即左右极限相等且等于$f(0)$。
2. 左右导数相等：分别计算$x=0$处的左导数和右导数，并令其相等。

破题关键点：

• 连续性条件：通过左右极限相等确定$a$的值。
• 导数条件：通过左右导数相等确定$b$的值。

步骤1：验证连续性

函数在$x=0$处连续需满足：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$

• 右极限（$x \to 0^+$）：
  $\lim_{x \to 0^+} [a + \ln(1+x)] = a + \ln(1+0) = a$

• 左极限（$x \to 0^-$）：
  $\lim_{x \to 0^-} (bx) = b \cdot 0 = 0$

• 连续性条件：
  $a = 0$

步骤2：计算左右导数

函数在$x=0$处可导需满足左右导数相等。

• 右导数（$x \to 0^+$）：
  $f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{d}{dx}[a + \ln(1+x)] = \frac{1}{1+0} = 1$

• 左导数（$x \to 0^-$）：
  $f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{d}{dx}(bx) = b$

• 导数相等条件：
  $1 = b$