题目

判断题（共20题，40.0分）32.（2.0分）直线L:(x-1)/(-1)=(y)/(0)=(z-2)/(1)和平面pi:x+2y-z+4=0的夹角为arccos(1)/(sqrt(3))A 对B 错

判断题（共20题，40.0分） 32.（2.0分）直线$L:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{0}=\frac{z-2}{1}$和平面$\pi:x+2y-z+4=0$的夹角为$arccos\frac{1}{\sqrt{3}}$ A 对 B 错

题目解答

答案

为了判断直线 $ L: \frac{x-1}{-1} = \frac{y}{0} = \frac{z-2}{1} $ 和平面 $ \pi: x + 2y - z + 4 = 0 $ 的夹角是否为 $ \arccos \frac{1}{\sqrt{3}} $，我们需要遵循以下步骤： 1. 确定直线的方向向量。 2. 确定平面的法向量。 3. 使用直线与平面之间夹角的公式。 **步骤1：确定直线的方向向量。** 直线 $ L: \frac{x-1}{-1} = \frac{y}{0} = \frac{z-2}{1} $ 的方向向量 $ \mathbf{d} $ 为 $ \mathbf{d} = \langle -1, 0, 1 \rangle $。 **步骤2：确定平面的法向量。** 平面 $ \pi: x + 2y - z + 4 = 0 $ 的法向量 $ \mathbf{n} $ 为 $ \mathbf{n} = \langle 1, 2, -1 \rangle $。 **步骤3：使用直线与平面之间夹角的公式。** 直线与平面之间的夹角 $ \theta $ 由以下公式给出： \[ \sin \theta = \frac{|\mathbf{d} \cdot \mathbf{n}|}{$\mathbf{d}$ $\mathbf{n}$} \] 首先，计算点积 $ \mathbf{d} \cdot \mathbf{n} $： \[ \mathbf{d} \cdot \mathbf{n} = (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) = -1 + 0 - 1 = -2 \] 接下来，计算 $ \mathbf{d} $ 和 $ \mathbf{n} $ 的模： \[ $\mathbf{d}$ = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \] \[ $\mathbf{n}$ = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \] 现在，将这些值代入公式： \[ \sin \theta = \frac{|-2|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{12}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] 由于 $ \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} $，夹角 $ \theta $ 为： \[ \theta = \arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} \] 但是，题目中给出的夹角为 $ \arccos \frac{1}{\sqrt{3}} $。为了检查这是否正确，我们使用恒等式 $ \sin \theta = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) $。因此，$ \theta = \arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} $ 意味着 $ \theta = \frac{\pi}{2} - \arccos \frac{1}{\sqrt{3}} $，但不一定等于 $ \arccos \frac{1}{\sqrt{3}} $。因此，题目中的夹角不正确。答案是：\boxed{B}

解析

本题考查直线与平面夹角的计算。解题思路是先分别找出直线的方向向量和平面的法向量，再利用直线与平面夹角的公式计算出夹角的正弦值，最后根据计算结果判断题目所给夹角是否正确。

步骤1：确定直线的方向向量

对于直线$L:\frac{x - 1}{-1}=\frac{y}{0}=\frac{z - 2}{1}$，其方向向量$\mathbf{d}$的坐标就是直线方程中分母对应的数值，所以直线$L$的方向向量$\mathbf{d}=\langle -1,0,1\rangle$。

步骤2：确定平面的法向量

对于平面$\pi:x + 2y - z + 4 = 0$，其法向量$\mathbf{n}$的坐标就是平面方程中$x$、$y$、$z$的系数，所以平面$\pi$的法向量$\mathbf{n}=\langle 1,2,-1\rangle$。

步骤3：使用直线与平面之间夹角的公式

直线与平面之间的夹角$\theta$满足公式$\sin\theta=\frac{|\mathbf{d}\cdot\mathbf{n}|}{|\mathbf{d}|\cdot|\mathbf{n}|}$。

计算点积$\mathbf{d}\cdot\mathbf{n}$：
根据向量点积的坐标运算公式$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z$，可得$\mathbf{d}\cdot\mathbf{n}=(-1)\times1 + 0\times2 + 1\times(-1)=-1 + 0 - 1=-2$。
计算$\mathbf{d}$和$\mathbf{n}$的模：
根据向量模的计算公式$|\mathbf{a}|=\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$，可得$|\mathbf{d}|=\sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2}=\sqrt{1 + 0 + 1}=\sqrt{2}$，$|\mathbf{n}|=\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}=\sqrt{1 + 4 + 1}=\sqrt{6}$。
将上述值代入公式计算$\sin\theta$：
$\sin\theta=\frac{|-2|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{12}}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。
所以夹角$\theta = \arcsin\frac{1}{\sqrt{3}}$。
而题目中给出的夹角为$\arccos\frac{1}{\sqrt{3}}$，因为$\sin\theta = \cos(\frac{\pi}{2}-\theta)$，所以$\theta = \arcsin\frac{1}{\sqrt{3}}$意味着$\theta = \frac{\pi}{2}-\arccos\frac{1}{\sqrt{3}}$，并不等于$\arccos\frac{1}{\sqrt{3}}$，因此题目中的夹角不正确。