题目
17.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布，现对X进行三次独立观察，则三次观测值大于3的概率为(20)/(27)（）.square√square×
17.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布，现对X进行三次独立观察，则三次观测值大于3的概率为$\frac{20}{27}$（）.
$\square$√
$\square$×
题目解答
答案
设随机变量 $X$ 在区间 $[2,5]$ 上服从均匀分布，其概率密度函数为：
\[
f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{5-2} = \frac{1}{3}, & 2 \leq x \leq 5 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
\]
求 $P(X > 3)$：
\[
P(X > 3) = \int_{3}^{5} \frac{1}{3} \, dx = \frac{1}{3} \times (5 - 3) = \frac{2}{3}
\]
对 $X$ 进行三次独立观测，每次观测值大于 3 的概率均为 $\frac{2}{3}$。三次观测值均大于 3 的概率为：
\[
\left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{8}{27}
\]
但题目中给出的概率是 $\frac{20}{27}$，显然与计算结果不符。因此，题目中的说法是错误的。
答案：×
解析
本题考查均匀分布的概率计算以及独立事件概率的计算。解题思路如下：
- 首先根据均匀分布的性质求出随机变量 $X$ 取值大于 3 的概率。
- 然后由于对 $X$ 进行的三次独立观察，每次观测值大于 3 的概率是相同的，根据独立事件概率的乘法公式求出三次观测值均大于 3 的概率。
- 最后将计算得到的概率与题目中给出的概率进行比较，判断题目说法的正误。
下面进行详细的计算：
- 已知随机变量 $X$ 在区间 $[2,5]$ 上服从均匀分布，其概率密度函数为：
$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{5 - 2} = \frac{1}{3}, & 2 \leq x \leq 5 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
要求 $P(X > 3)$，根据概率的计算公式可得：
$P(X > 3) = \int_{3}^{5} \frac{1}{3} \, dx = \frac{1}{3} \times (5 - 3) = \frac{2}{3}$ - 因为对 $X$ 进行的三次独立观察，每次观测值大于 3 的概率均为 $\frac{2}{3}$，根据独立事件概率的乘法公式，三次观测值均大于 3 的概率为：
$\left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{8}{27}$ - 题目中给出的概率是 $\frac{20}{27}$，而我们计算得到的概率是 $\frac{8}{27}$，两者不相等，所以题目中的说法是错误的。